Berechne Ableitung von f(x) = 2x e-2x (1-x)

Question

Aufgabe:

Berechne Ableitung von f(x) = 2x$e^{-2x}$(1-x)

Mit Produktregel hätte ich:

2$e^{-2x}$(1-x)-4x$e^{-2x}$(1-x)

In der Lösung steht aber:

(1) 2$e^{-2x}$(1-x)-4x$e^{-2x}$(1-x)-2x$e^{-2x}$

(2) = 2$e^{-2x}$(2$x^{2}$-4x+1)

Kann mir jemand erklären wie man auf den letzten Minuenden 2x$e^{-2x}$ in (1) und auf die Vereinfachung

in (2) kommt ?

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Hast du die Klammer aufgelöst?

Damit sollte das Ableiten einfacher sein.

Answer 1

Aloha ;)

Du hast nur 2 Terme, obwohl die Funktion aus drei Faktoren besteht:$$f(x)=\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-2x}}_{=v}\cdot\underbrace{(1-x)}_{=w}$$

Mit der Produktregel erhalten wir die Ableitung:$$f'(x)=\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-2x}}_{=v}\cdot\underbrace{(1-x)}_{=w}+\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{(-2e^{-2x})}_{=v'}\cdot\underbrace{(1-x)}_{=w}+\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-2x}}_{=v}\cdot\underbrace{(-1)}_{=w'}$$$$\phantom{f'(x)}=2e^{-2x}\left((1-x)-2x(1-x)-x\right)=2e^{-2x}\left(2x^2-4+1x\right)$$

Answer 2

d(x)=e^-2x d'(x)=-2e^-2x

g(x)=2x   g'(x)=2

h(x)=1-x h'(x)=-1

f '(x)=d'·g·h+d·g'·h+d·g·h'

Einsetzen, ordnen, ausklammern.

Comments

Wenn ich ausmultipliziere steht da:

2e^(-2x) - 2xe^(-2x) - 4xe^(-2x) + 4x^(2)e^(-2x)-2xe^(-2x)

Was genau wurde ausgeklammert um auf 2$e^{-2x}$(2$x^{2}$-4x+1) zu kommen ?

Answer 3

Hier ist ein Fehler drin Um die Ableitung von $f(x) = 2x e^{-2x}(1-x)$ zu berechnen, verwenden wir die Produkt- und Kettenregel. Lass uns die Schritte durchgehen:

$f(x) = 2x e^{-2x}(1-x)$

1. **Produktregel:**
$(uv)' = u'v + uv'$
Hier sind $u = 2x$ und $v = e^{-2x}(1-x)$.

$f'(x) = (2x)' e^{-2x}(1-x) + 2x \cdot \left(e^{-2x}(1-x)\right)'$

2. **Ableitung von $2x$:**
$(2x)' = 2$

3. **Ableitung von $e^{-2x}(1-x)$:**
$\left(e^{-2x}(1-x)\right)' = e^{-2x}(-2) + (1-x)(-1)$

4. **Setze die Ableitungen in die Produktregel ein:**
$f'(x) = 2e^{-2x}(1-x) + 2x\left(e^{-2x}(-2) + (1-x)(-1)\right)$

5. **Vereinfache:**
$f'(x) = 2e^{-2x}(1-x) - 4xe^{-2x} - (1-x)$

Die Ableitung von $f(x)$ ist also:
$f'(x) = 2e^{-2x}(1-x) - 4xe^{-2x} - (1-x)$

Answer 4

Ich würde zunächst die Funktion vereinfachen, indem ich die ganzrationalen Faktoren zu einem Faktor zusammenfasse.

f(x) = 2·x·e^(- 2·x)·(1 - x)
f(x) = e^(- 2·x)·(2·x - 2·x²)

Jetzt mit der Produktregel normal ableiten [u·v]' = u'·v + u·v'

f'(x) = - 2·e^(- 2·x)·(2·x - 2·x²) + e^(- 2·x)·(2 - 4·x)
f'(x) = e^(- 2·x)·(- 2·(2·x - 2·x²)) + e^(- 2·x)·(2 - 4·x)
f'(x) = e^(- 2·x)·(- 2·(2·x - 2·x²) + (2 - 4·x))
f'(x) = e^(- 2·x)·(- 4·x + 4·x² + 2 - 4·x)
f'(x) = e^(- 2·x)·(4·x² - 8·x + 2)

So hätte ich das auch stehenlassen und nicht noch die 2 ausgeklammert.

Die Produktregel für drei Faktoren lautet

[u·v·w]' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'

Bei dir also

f(x) = 2·x·e^(- 2·x)·(1 - x)
f'(x) = 2·e^(- 2·x)·(1 - x) + 2·x·(- 2)·e^(- 2·x)·(1 - x) + 2·x·e^(- 2·x)·(- 1)
f'(x) = e^(- 2·x)·(2 - 2·x) + e^(- 2·x)·(4·x² - 4·x) + e^(- 2·x)·(- 2·x)
f'(x) = e^(- 2·x)·(2 - 2·x + 4·x² - 4·x - 2·x)
f'(x) = e^(- 2·x)·(4·x² - 8·x + 2)