Hallo,
Bitte Klammern setzen
falls die Aufgabe so lautet: f(x,y)=\( \frac{1}{3} x^{2}-\frac{5}{6} x+\frac{147}{y}+12 y+75 \)
1. Gradient bilden:
fx=(2(3) x -5/6
fy= -\( \frac{147}{y^2} \) +12
\( \operatorname{grad}(f)=\left(\begin{array}{c}f x \\ fy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3} x-\frac{5}{6} \\ -\frac{147}{y^{2}}+12\end{array}\right) \)
2.Gradient 0 setzen:
(2/3)x -5/6=0 ->x= 5/4
(-147)/y^2 +12=0 -->y1,2= ± 7/2
->
P1(5/4, -7/2)
P2(5/4 ,7/2)
3. Hesse Matrix:
fxx=2/3
fyy= 294/y^3
fxy=fyx= 0
\( \begin{array}{l}H f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}f x x & f x y \\ f y x & f y y\end{array}\right) \\ H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{294}{y^3}\end{array}\right)\end{array} \)
4.Eigenwerte bestimmen:
Hf(5/4 ,-7/2) =0 -->Eigenwerte sind -48/7 und 2/3
Hf(5/4 ,7/2) =0 -->Eigenwerte sind 2/3 und 48/7
Sattelpunkt: positiver und negativer Eigenwert
Minimum: alle Eigenwerte sind positiv
5.Ergebnis:
\( \left(\frac{5}{4},-\frac{7}{2}\right) \quad \) (saddle point) \( \left(\frac{5}{4}, \frac{7}{2}\right) \quad \) (minimum)
