Grenzwert mit Reihen und Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe H 31. Grenzwert mit Reihe
(a) Zeigen Sie, dass \( (k+2) ! \geqq 2^{k} \) für alle \( k \in \mathbb{N}_{0} \) gilt.
(b) Zeigen Sie, dass \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{m^{k} k !} \leqq \frac{2}{m^{2}} \) für alle \( m \in \mathbb{N} \) gilt.
(c) Berechnen Sie \( \lim \limits_{m \rightarrow \infty} m \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{m^{k} k !} \).

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen, ich muss dies Aufgabe lösen, jedoch weiß ich nicht wie ich vorzugehen habe bei den einzelnen Aufgaben. Würde mich über Eure Hilfe freuen :)

Answer 1

Mögliche Vorgehensweise:

(a) Simple Induktion.

(b) Klammere \(\frac 1{m^2}\) aus. Beachte, dass die Reihe bei \(k=2\) beginnt und schätze mit (a) durch eine geometrische Reihe ab.

(c) Folgt direkt aus (b).

Comments

wie soll ich genau 1/m ausklammern?

habs nun in Wolfram Alpha eingeben da kam folgendes raus.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{m^{k} k !}=\sqrt[m]{e}-1-\frac{1}{m} \)

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Bei (b) möchte man \(\frac 1{m^2}\) offenbar als Faktor übrig haben. Also rechnet man

$$\sum_{k=2}^{\infty}\frac 1{m^kk!}= \frac{1}{m^2}\sum_{k=2}^{\infty}\frac 1{m^{k-2}k!}$$

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Übrigens:

$$e^x = \sum_{\color{blue}k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\Rightarrow e^{\frac 1m}=\sum_{\color{blue}k=0}^\infty \frac{1}{m^kk!}$$

Jetzt bringst du die ersten beiden Glieder der Reihe auf die linke Seite und dein Ergebnis von WolframAlpha steht da.

Du kannst (b) und (c) auch mit Taylor lösen.