Wie beweise ich die Konvergenz dieser Folge in C?

Question

Aufgabe:

Folgende Folge soll in \(\mathbb{C} \) auf Konvergenz, Divergenz und Beschränktheit geprüft werden: \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} := \frac{3n-4}{4n+3i} \)

Problem/Ansatz:

Ich glaube ich habe irgendwo einen heftigen Denkfehler, ich sitz an der Aufgabe schon 4-5 Stunden nun, obwohl mir Mathe sonst relativ leicht fällt.

Ich habe mir gedacht: lim (a_n) -> a das bedeutet wiederum, dass der lim |a_n| -> |a| konvergiert

Nach ausrechnen und auflösen komme ich auf folgenden Term:

\(\frac{|3n-4|}{\sqrt{16n^{2}+9}} = \frac{|9n^2-12n+16|}{16n^{2}+9}\)

Folgende Vermutung habe ich: Der größte Grad ist jeweils n^2 von daher vermute ich, dass |a_n| gegen 9/16 konvergiert. Wie mache ich von dort jetzt weiter, dass ich auf lim (a_n) -> a komme?

Answer 1

Ich würde so versuchen:

\(  \frac{3n-4}{4n-3i} = \frac{(3n-4)(4n+3i)}{(4n+3i)(4n-3i)}  = \frac{12n^2-16n-9in+12i}{16n^2+9} \)

\(   = \frac{12n^2-16n}{16n^2+9}-\frac{9in-12i}{16n^2+9} \)

Also Grenzwert  \(   \frac{12}{16}- 0  = \frac{3}{4} \)

Comments

Danke!

ich bin im Endeffekt, jetzt indem ich mein an durch n geteilt habe auch auf dasselbe gekommen.

vielen Dank!

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Genau, einfach Zähler und Nenner durch n dividieren, also genauso wie im Reellen. Noch zu Deiner Frage oben: Der limes läuft nirgendwo hin, das ist ja schon der Grenzwert. Die Folge läuft irgendwo hin (oder auch nicht).