Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E mit der yz-Ebene.

Question

Aufgabe:

Hallo brauche dringende Hilfe bei der Aufgabe. ich komme nicht zu Recht.

Das Ergebnis kenn ich, es hat mein Prof schon angegeben aber das rechenweg kenn ich nicht.

Ergebnis: g : x = (0,10,4)+s(0,10,-1)

Problem/Ansatz:

die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E mit der yz-Ebene.

gegeben: Ε : x = (3,1,4) + r *(1,-3,0) + s *(2,4,-1)

Answer 1

Die yz-Ebene hat die Koordinatenform x = 0.

Also setze einfach die x-Koordinate der anderen Ebene gleich Null.

[3, 1, 4] + r·[1, -3, 0] + s·[2, 4, -1] = [0, y, z]

3 + r + 2·s = 0 --> r = - 2·s - 3

Setze das für r in die Ebene ein und vereinfache die Form.

[3, 1, 4] + (- 2·s - 3)·[1, -3, 0] + s·[2, 4, -1]
= [3, 1, 4] + s·[-2, 6, 0] + [-3, 9, 0] + s·[2, 4, -1]
= ([3, 1, 4] + [-3, 9, 0]) + s·([-2, 6, 0] + [2, 4, -1])
= [0, 10, 4] + s·[0, 10, -1]

Das ist jetzt die gewünschte Schnittgerade.

Comments

Ich möchte mich herzlich bei dir bedanken. Nach einer Woche intensiver Arbeit und zahlreichen Anfragen bei verschiedenen Personen habe ich die Aufgabe schließlich gelöst und verstanden. Jeder hat mir einen unterschiedlichen Ansatz gezeigt, jedoch hat keiner zum korrekten Ergebnis geführt.

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Sowas kann dann häufig daran liegen, dass man sich selbst (!) verrechnet hat. Ob man es wirklich verstanden hat, wenn man eine komplette Lösung bekommt, wage ich allerdings zu bezweifeln.

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Ob man es wirklich verstanden hat, wenn man eine komplette Lösung bekommt, wage ich allerdings zu bezweifeln.

Das kann jeder für sich selbst entscheiden, wenn er ähnliche Aufgaben danach versucht selber zu lösen.

Ich kann anhand einer Musterlösung sehr gut lernen. Das muss aber nicht auf alle zutreffen. Wichtig ist das man allein vom Durchlesen nicht lernt.

Mathematik ist wie Autofahren. Man lernt es nicht durch reines Zuschauen. Wer glaubt, man braucht sich vor der Arbeit nur 2 Youtube-Videos ansehen und kann dann alles wird enttäuscht sein. Kein Jugendlicher der schon 17 Jahre mit den Eltern im Auto mitgefahren ist, wird von sich behaupten können Autofahren zu können. Auch die brauchen in der Regel noch sehr viele Übungsstunden.

Answer 2

Eine Möglichkeit ist, eine Gleichung der yz-Ebene aufzustellen und die Ebenen gleichzusetzen.

Eine andere Möglichkeit ist, zwei Punkte der Ebene zu finden, die in der yz-Ebene liegen (also x=0). Diese beiden Punkte müssen dann auf der Schnittgeraden liegen. Man kann dann aus den beiden Punkten die Schnittgerade aufstellen.

Comments

Zu Deiner zweiten Möglichkeit habe ich Bedenken...Ich rechne es einmal vor, damit du mich korrigieren kannst, wenn ich falschliege:

Schnittpunkt 1: Für r= 1 gilt s= -2, damit 3+r+2s = 0

->Eingesetzt in die restliche Parametergleichung ergibt sich Punkt S1(0 ; -10 ; 6)

Schnittpunkt 2: Für r= 2 gilt s = -5/2, damit 3+r+2s = 0

->Eingesetzt in die restliche Parametergleichung ergibt sich Punkt S2(0 ; -12 ; 6.5)

...Daraus dann die Parametergleichung mit g: x= S1 + s ([Vektor S1 zu S2])

-> g: x=  (0, -10, 6) + s (0, -2 , 0.5)


Egal wie ich es drehe und wende, es kommt eine andere Gleichung heraus. Ich bin am verzweifeln...eigentlich macht der Ansatz doch Sinn mit den Schnittpunkten?! Ich bitte um Hilfe!

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S2 stimmt nicht. Die y-Koordinate ist falsch.

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Ups. Das ist jetzt peinlich..

Okay mit dem richtigen Schnittpunkt sieht das schon besser aus, meine neue Geradengleichung sieht jetzt so aus:

g: x = [0,-10,6]+ s[0,-5,0.5]

Nun stimmt der Ortsvektor aber immer noch nicht mit dem der Lösung überein..? Dann können doch die Geraden auch nicht identisch sein oder? Angenommen der Ortsvektor wäre [0,-10,-16], dann wären die Geraden ja ein und dieselbe. Aber mit [0,-10,6] ist die gesamte Gerade doch verschoben?

Danke, dass du Dir die Zeit nimmst.

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Der Stützvektor ist nicht eindeutig. Du kannst ja prüfen, ob er auch auf der "anderen" Geraden liegt.

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Achso, alles klar. Gut zu wissen... Gibt es im Forum einen Thread, der Regeln bzw. Wege zeigt, wie ich schnell prüfen kann, ob 2 "verschiedene" Geraden identisch sind (trotz unterschiedlicher Parameterform)?

Oder müsste man immer 2 Punktproben machen? (2Punkte raussuchen, die auf der einen Geraden liegen, und rechnerisch überprüfen, ob sie auf die andere Gerade passen meine ich)

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Wenn die Richtungsvektoren kollinear sind, reicht die Punktprobe mit dem Stützvektor in der anderen Geraden schon aus.

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Okay. Ich danke Ihnen, Herr Apfelmann

Answer 3

Du hast in der Ebenengleichung drei Gleichungen x = ... und y = ... und z = .... und fünf Variablen x, y, z, r und s.

In der yz-Ebene ist x = 0. Also sind es drei Gleichungen und vier Variable. Es bleibt der Parameter s der Schnittgeraden übrig.

Die Geradengleichung kann man an der Lösung ablesen.