Bestimmen Sie mithilfe der Lagrange-Verfahrens die Punkte aus G , die den minimalen und maximalen Abstand zum …

Question

Text erkannt:

Gegeben sei die Matrix $A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right)$ und die Menge
$G=\left\{\vec{v} \in \mathbb{R}^{2} \mid \vec{v}^{\top} A \vec{v}=8\right\} .$

Bestimmen Sie mithilfe der Lagrange-Verfahrens die Punkte aus $G$, die den minimalen und maximalen Abstand zum Koordinatenursprung haben.

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass $G$ kompakt ist.

Problem/Ansatz:Ich hab kein plan wie man diese aufgabe löst und würde mich freuen falls einer weiterhelfen kann.

Answer 1

Hallo Peter,

keine Ahnung warum Dir noch niemand geantwortet hat. Das ist eine einfache Standard-Lagrange-Aufgabe.$$G= \{\vec{v} \in \mathbb{R} | \space \vec{v}^T A \vec{v} = 8\} \quad A= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \implies G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|\space 3x^2 +2xy + 3y^2 - 8 = 0\}$$ist eine Ellipse. Das ist die Nebenbedingung und die Hauptbedingung ist$$x^2 + y^2 \to \min$$Die Lagrange-Funktion nebst Ableitung und Nullsetzen gibt$$\begin{aligned} L(x,y, \lambda) &= x^2 + y^2 + \lambda(3x^2 +2xy + 3y^2 - 8 ) \\ \operatorname{grad} L &=\begin{pmatrix} 2x \\ 2y\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 6x + 2y \\ 2x + 6y\end{pmatrix} \to 0 \\ \implies 2x^2 + 6xy &= 6xy + 2y^2 \\ x^2 &= y^2 \\ x &= y \land y =-x\end{aligned}$$Einsetzen in die Nebenbedingung gibt $x=y= \pm 1$ und $y=-x = \pm \sqrt{2}$

Welche Punkte Minima und Maxima sind, ist offensichtlich.

Gruß Werner