Aloha :)
Bei der Rotation des Graphen der Funktion$$y(x)=x-2x^2=-2\left(x^2-\frac12x\pink{+\frac{1}{16}}\right)\pink{+\frac18}=\frac18-2\left(x-\frac14\right)^2$$im Intervall \(x\in[0;3]\) um die y-Achse, musst du den Hochpukt \(H\left(\frac14|\frac18\right)\) beachten. Für \(x<\frac14\) fällt die Funktion nämlich wieder ab, sodass im Rotationsvolumen eine kleine Wölbung entsteht, die subtrahiert werden muss.
Das heißt formal:$$V=\int\limits_{y(3)}^{y(\frac14)}\pi\,x^2\,dy-\int\limits_0^{y(\frac14)}\pi\,x^2\,dy$$Beachte, dass die Integrationsgrenzen so gewählt sind, dass wir in Richtung der y-Achse von unten nach oben integrieren. Wir berechnen die Integrale mit Substitution:$$V=\int\limits_{x=3}^{\frac14}\pi\,x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx-\int\limits_{x=0}^{\frac14}\pi\,x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_{x=3}^{\frac14}\pi\,x^2(1-4x)\,dx-\int\limits_{x=0}^{\frac14}\pi\,x^2(1-4x)\,dx$$$$\phantom V=\pi\left[\frac{x^3}{3}-x^4\right]_{x=3}^{\frac14}-\pi\left[\frac{x^3}{3}-x^4\right]_{x=0}^{\frac14}=\pi\left(\frac{1}{768}-(-72)\right)-\pi\left(\frac{1}{768}-0\right)$$$$\phantom V=72\,\pi$$
