Wahrscheinlichkeitsrechnung Berechnung Anzahl

Question

Aufgabe:

Tuberkulose (kurz TBC) ist weltweit immer noch eine der gefährlichsten Infekti-onskrankheiten. Bis in die 1990er-Jahre wurden in Deutschland Röntgen-Reihenunter-suchungen durchgeführt. Dabei wurde festgestellt, ob Schatten auf der Lunge zu sehen waren. Als der Anteil der Erkrankten aber auf unter 0,2 % gesunken war und die Gefährdung durch zu häufige Belastung des Körpers durch Röntgenstrahlung in den Blick geriet, wurde die flächendeckende Reihenuntersuchung eingestellt. Ein weiterer Gesichtspunkt war in diesem Zusammenhang der sehr hohe Anteil von 30% falsch-negativer Befunde und der nicht zu übersehende Anteil von 2% falsch-positiver Befunde.
a) Erläutert, was mit falsch-negativen und falsch-positiven Befunden gemeint ist.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person mit auffälligem Röntgenbefund tatsächlich an Tuberkulose erkrankt?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet eine Person, bei der auf der Röntgenaufnahme nichts Auffälliges bemerkt wird, tatsächlich nicht an Tuberkulose?
d) Die Wahrscheinlichkeit, an Tuberkulose zu erkranken, ist in verschiedenen Regionen der Welt sehr unterschiedlich. Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe a) für eine Person aus einer Region, in der (1) 1%, (2) 5%, (3) 10% und (4) 20% der Bevölkerung erkrankt ist. Fertigt ein Diagramm der Ergebnisse an. Beschreibt es und zieht Folgerungen daraus.

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe. Am besten mit dem gesamten Lösungsweg.

Answer 1

a) geht ohne Mathematik.

Für alle anderen Aufgaben ist es sinnvoll, ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel zu erstellen. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich dann alle sehr leicht berechnen.

Welche Merkmale gibt es zu berücksichtigen und welche Informationen findet man dazu im Text?

Comments

Wie berechnet man denn beispielsweise b) ?

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Anhand der Formulierung erkennt man, dass es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, weil man bereits die Information hat, dass die Person einen auffälligen Befund hat. Die Formel dafür lautet \(\frac{P(B^+\cap T^+)}{P(B^+)}\), wobei \(B^+\) das Ereignis positiver Befund und \(T^+\) das Ereignis an Tuberkulose erkrankt bedeutet.

Answer 2

a) falsch-negativ: krank, aber als gesund befunden

falsch-positiv: gesund, aber als krank getestet

b) Baumdiagramm:

0,002*0,7/(0,002*0,7+0,998*0,02)

c) 0,998*0,98/(0.998*0,98+0,002*0,3)

d) falsch-negativ: 0,01*0,3

falsch-positiv: 0,99*0,02

analog mit den anderen Prozentwerten, 0,01 und 0,99 müssen angepasst werden