Zeigen Sie mit Hilfe von Punktfeldern, dass D_{n}=\frac{1}{2} R_{n} .

Question

a) Eine Rechteckszahl \( R_{n} \) ist definiert als das Produkt \( n *(n+1) \). Stelle Sie die 4 ersten Rechteckszahlen als rechteckige Punktfelder dar.
b) \( D_{1}, D_{2}, D_{3} \) stellen die erste, die zweite und die dritte Dreieckszahl dar. Zeichnen Sie die vierte und die fünfte Dreieckszahl und begründen Sie kurz, warum die n-te Dreieckszahl gleich der Summe der ersten \( \mathrm{n} \) natürlichen Zahlen ist, d.h.:
\( D_{n}=1+2+3+\cdots+n \text {. } \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{cccc} & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\ D_{1} & D_{2} & & D_{3}\end{array} \)

c) Zeigen Sie mit Hilfe von Punktfeldern, dass \( D_{n}=\frac{1}{2} R_{n} \).
d) Welche Formel haben Sie in c) bewiesen?

Answer 1

a)   R1          ⊕⊕

R2               ⊕⊕⊕      
                    ⊕⊕⊕

R3              ⊕⊕⊕⊕
                  ⊕⊕⊕⊕
                  ⊕⊕⊕⊕

R4              ⊕⊕⊕⊕⊕
                  ⊕⊕⊕⊕⊕
                   ⊕⊕⊕⊕⊕
                   ⊕⊕⊕⊕⊕

b) Die n-te Dreieckszahl hat von oben nach unten betrachtet

in der ersten Reihe 1 Punkt

ind der 2. Reihe  2 Punkte

dann 3 dann 4  (Hört sich an wie Advent)

aber dann 5 dann 6 etc.  Und es sind n Reihen,

also Anzahl der Punkte 1+2+3+4+5+....+n.

c) z.B. bei R4 mit unterschiedlichen Punkten

R4              ⊕⊗⊗⊗⊗
                ⊕⊕⊗⊗⊗
                ⊕⊕⊕⊗⊗
                ⊕⊕⊕⊕⊗

Also R4=2*D4  oder eben   \( D_{4}=\frac{1}{2} R_{4} \)

d) \(1+2+3+\cdots+n \text {. } = \frac{n*(n+1)}{2}\)