Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln für allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln für allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen:
(a) (a^x)^y = a^x*y für alle a ∈ (0,∞) und alle x, y ∈ R.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier 6 Teilaufgaben, die jeweils einen Punkt geben, nur weiß ich leider nicht, wie man hier vorgeht. Muss man die Gleichung (a^x)^y möglicherweise als e-Funktion und/oder ln-Funktion umschreiben?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dieser einen Teilaufgabe zeigen kann, was zu tun ist, den Rest bekomme ich dann hoffentlich selbst hin wenn ich das Vorgehen einmal gesehen habe. Dankeschön :)

Comments

(a^x)^y = a^x*a^x*a^x* .... a^x ,y-mal a^(x+x+x+...+x), y-mal -> a^(xy)

Die Frage ist, was du beim Zeigen benutzen darfst oder sollst.

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In meiner Frage oben steht alles, was gegeben ist. Aber ich glaube man muss den Beweis auf eine formaleren Weg machen (?).

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Da $x,\:y\in\mathbb{R}$ sein soll, ist die angeführte Beweisidee sicherlich falsch.

Was gibt zu diesem Thema denn im Skript oder in der Vorlesung?

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Danke, das habe ich nicht beachtet. Auf die Lösung bin ich gespannt.

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Im Skript findet man dies für den Beweis von

a^x+y = a^x*a^y

a^x+y = exp((x+y)*ln(a)) = exp(x*ln(a)+y*(ln(a))

= exp(x*ln(a))*exp(y*ln(a))=a^x*a^y

Dort steht auch, dass man alle anderen Regeln äquivalent beweist. Jetzt mein Versuch zu obiger Aufgabe:

(a^x)^y= (exp(x*ln(a))^y = exp((x*y)*ln(a)) = a^x*y

Ist das so korrekt oder fehlt da ein Schritt in der Mitte?

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@Anonymeruser

Das ist absolut korrekt, sofern in eurem Skript die Regel $(e^x)^y = e^{xy}$ als bewiesen gilt.

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Das ist absolut korrekt, sofern in eurem Skript die Regel $(e^x)^y = e^{xy}$ als bewiesen gilt.

Und wie beweist man diese?

Bei welchen Axiomen landet man final?

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@ggT
Man definiert $e^x$ zum Beispiel per üblicher Grenzwertdefinition oder bei Weierstraẞschem Zugang per Potenzreihe.

Dann zeigt man mit relativ technischen Beweisen die grundlegenden Eigenschaften von $e^x$.

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Danke.

Guten Rutsch schon mal!

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@ggT
Gerne und danke gleichfalls. :-)

Answer 1

Aloha :)

Wegen $a>0$ ist auch jede Potenz von $a$ positiv. Wir können daher ausnutzen, dass die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion ihre Wirkung gegenseitig aufheben, dass also für alle $x>0$ gilt: $e^{\ln(x)}=x$.

$$(a^x)^y=e^{\ln\left(\;(a^x)^y\;\right)}=e^{y\ln(a^x)}=e^{y\cdot x\ln(a)}=e^{(xy)\ln(a)}=e^{\ln(a^{(xy)})}=a^{xy}$$

Comments

Dankeschön, damit habe ich jetzt schonmal drei Teilaufgaben lösen können. :)

Hast du noch einen Tipp für so etwas wie

log_a(xy) = log_a(x)+log_a(y) für alle a ∈ (0,∞) \ {1} und alle x, y ∈ (0,∞) ?

Answer 2

Dein Skript scheint einen sehr üblichen Zugang zu allgemeinen Exponentialfunktionen $a^x$ zu haben.

Man führt zunächst $e^x$ ein und zeigt alle wichtigen Eigenschaften, wie zum Beispiel

$(e^x)^y = e^{xy} \quad (1)$

Nun wird definiert:

$a^x := e^{x\ln a}$

Damit ist deine Rechnung im obigen Kommentar perfekt und ich kopiere sie hier noch einmal:
$(a^x)^y = (e^{x\ln a})^y \stackrel{(1)}{=} (e^{(xy)\ln a}) = a^{xy}$

Nun noch kurz zum Logarithmus.

Per Definition gilt:

$a^x = b\Rightarrow \boxed{x= \log_a b \quad (2)}$

Andererseits wissen wir

$a^x = e^{x\ln a} =b \stackrel{\ln}{\Rightarrow} \boxed{x\ln a = \ln b \quad (3)}$

Also

$(2),(3) \Rightarrow \boxed{\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}}$

Comments

Das Ganz ist tückisch: Du behauptest (1) zu beweisen: $(e^x)^y=e^{xy}$. Und "nun" definierst Du (erst), was $a^x$ ist, insbesonder also $(e^x)^y$

Umgekehrt wird ein Schuh draus: $(e^x)^y=e^{xy}$ ist eine Folge der Definition der allgemeinen Potenz.

Die ganze Aufgabe kann eigentlich nur korrekt - also passend zur Lehrveranstaltung - lösen, wer ebendiese Lehrveranstaltung kennt.

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@Mathhilf
Bitte genau lesen.

Ich setzte $e^x$ und ihre grundlegenden Eigenschaften voraus. Und das ist ein üblicher Zugang, sich zunächst $e^x$ zu besorgen und die grundlegenden Eigenschaften von $e^x$ zu beweisen.

Ob das der Zugang des FS ist, weiß ich nicht.

Es sieht aber ganz danach aus, wenn man sich die Kommentare des FS anschaut.

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Bitte genau lesen.

Ich habe es versucht: (P "nun" Q ) bedeutet: Erst P dann Q. In P wird $a^x$ mit $a=e^x$ verwendet, aber erst in Q definiert.

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@Mathhilf

Falsch. Es sieht so aus, als ob du diesen Zugang nicht kennst.

Zunächst wird $e^x$ als Symbol für eine speziell definierte Funktion eingeführt. Zu dem Zeitpunkt ist $a^x$ nicht definiert.

Die Eigenschaften von $e^x$ werden bewiesen und natürlich auch entsprechend für $\ln$ als Umkehrfunktion, da diese im Weiteren benötigt wird.

Danach wird mithilfe von $e^x$ und $\ln$ definiert, was $a^x$ sein soll. Natürlich muss sich $e^x$ korrekt in diese Definition einbetten, was wegen $\ln e = 1$ gegeben ist.

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Wie ist$(e^x)^y$ definiert?

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@mathhilf

Du hast hier auf einen wichtigen Punkt hingewiesen. Deshalb gebe ich hier einen kleinen Abriss des Zugang.

Man definiert zwar die Exponentialfunktion $a^x$ mit allgemeiner Basis recht spät mithilfe von $e^x$, hat aber sehr wohl schon die Potenz mit reellem Exponenten.

Hier der Abriss:

Nachdem man Potenzen $a^n$ hat, definiert man für $a>0$ die Wurzeln $a^{\frac 1n}$. Dann kommen die Potenzen mit rationalen Exponenten $a^q$. Über Grenzwertbetrachtung erhält man dann die Potenzen mit reellen Exponenten $a^r$.

Bis hier hin wird aber noch kein funktionaler Zusammenhang betrachtet.

Nun wird $e=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac 1k\right)^k$ eingeführt.

Dann wird mit dem bisherigen gezeigt, dass tatsächlich

$e^x = \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac xk\right)^k$ gilt.

Ab jetzt werden alle wichtigen Eigenschaften von $e^x$ und $\ln x$ gezeigt. Und da die allgemeine Potenz $a^r$ bekannt ist, zeigt man hier auch $(e^{x})^y = e^{xy}$.

Wenn man nun $a^x = e^{x\ln a}$ setzt, muss man nur noch zeigen, dass für rationale Folgen $q_k\to x$ gilt:

$a^{x}= e^{x \ln a} = \lim_{k\to\infty}e^{q_k\ln a} = \lim_{k\to\infty}a^{q_k}$ - und das ist genau die ursprüngliche Definition der Zahl $a^x$.

Natürlich kann man die wesentlichen Exponentenregeln auch vorher schon bei Einführung der Potenz mit reellem Exponenten $a^r$ ableiten. Aber das ist Geschmackssache.

Welche saubere Einführung von $a^x$ ist denn dein Favorit?

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Danke für die ausführliche Erklärung. Tatsächlich habe ich in der Schulzeit die allgemeine Potenz als stetige Fortsetzung kennengelernt. Bei meinem Kommentar bin ich davon ausgegangen, dass in der Veranstaltung des FS zuerst die exp- Funktion mit Logarithmus besprochen wird und dann damit die allgemeine Potenz definiert wird. Das scheint mir auch der einfachere Weg zu sein.