Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Question

Bestimmen Sie r und s in Abhängigkeit von x und y mit a=rx/(x^2+y^2 ) , b=sx/(x^2+y^2 ) , c=ry/(x^2+y^2 ) , d= - sy/(x^2+y^2 )  sodass a+b+c+d=2 und a²+b²+c²+d²=2 und a³+b³+c³+d³=2.

Comments

Woher stammt diese Aufgabe? Wer denkt sich so etwas zu welchem Zweck aus?

Wie kommt man überhaupt darauf, sich sowas ausdenken? In welchem Kontext kommt man auf solche Gedanken?

PS:

Was sind das für Leute, die die Aufgaben von Mathewettbewerben erstellen? Profs, andere Uni-Dozenten, gelangweilte oder unterforderte Mathelehrer, denen die Schulmathematik zum Hals raushängt?

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Die Aufgabe stammt (etwas verändert) aus 'Scripta mathematica'. Scripta Mathematica war eine vierteljährlich erscheinende Zeitschrift für Mathematikgeschichte, Mathematikphilosophie und Unterhaltungsmathematik. Sie wurde 1932 von Jekuthiel Ginsburg an der Yeshiva University gegründet und erschien zuerst 1933. Die Zeitschrift bestand bis 1973.

PS. für ggT22: Deine Kommentare haben mich jetzt endgültig davon überzeugt, dass du überhaupt keine Herausforderungen suchst, die man mit mathematischen Mitteln und einiger Heuristik lösen kann. Was interessiert dich eigentlich an der Mathematik?

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Ich würde anfangen mit

ax+cy=r

bx-dy=s

a/b=r/s=-c/d

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Was interessiert dich eigentlich an der Mathematik?

Das weißt du doch: Ihre praktische Anwendung, besonders zur Lösung der Überlebensfragen der Menschheit durch Technologie.

Was ist ein meiner Frage nach den Hintergründen so schlimm? Ich will verstehen, was in den Gehirnen von solchen Leuten vorgeht,was sie antreibt, worin die Befriedigung und der Reiz besteht.

Wenn ich keinen Nutzen oder Sinn erkenne, reizt es mich nicht oder kaum, meine weiter OP-geschwächte Konzentrationsfähigkeit damit zu überstrapazieren.

Ich sehe hier keine Möglichkeit, systematisch ranzugehen, obwohl ich Algebra mag.

PS.

Der Eurojackpot, so las ich heute, steht fast wieder auf Maximum (120 Mio)

113 Mio = 621500 Euro Nettorente bei 4% p.a. Verrentungszins über 20 Jahre pro Monat.

Interessant ist, dass die Gewinn-WKT beim Europot und Lottopot identisch ist

1/((50über5)*(12über2)) = 1/((49über6)*10))  = 1 zu ca 140 Mio

Dich wird das sicher nicht interessieren in einer Welt, die wir einem Zufall von 1 zu 10^500 zu verdanken haben und dich sich in eine Richtung entwickelt, die immer bedenklicher wird.

Immer mehr Menschen scheint es zu gehen wie dem Autor dieser Verse:

Ich komm, weiß nicht woher,
Ich bin und weiß nicht wer,
Ich leb, weiß nicht wie lang,
Ich sterb und weiß nicht wann,
Ich fahr, weiß nicht wohin:
Mich wundert, daß ich so fröhlich bin.

Quo vaditis, ars mathematica et munde tibi servande?

Kann man mit Mathematik bzw. knallharter mathem. Logik die Welt retten?

Ich wünsche dir einen guten Rutsch

mit (d)einer Frau und viel Silvester- Geknutsch' ! :)

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"Ich will verstehen, was in den Gehirnen von solchen Leuten vorgeht, was sie antreibt, worin die Befriedigung und der Reiz besteht."

Diese Frage hatte ich bereits beantwortet:

Es ist die Herausforderung!

Gegenfrage: Worin besteht der Reiz der Scheinanwendung?

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Welche Scheinanwendung?

Herausforderung ist hier sehr subjektiv. Sie wäre es auch für mich, wenn ich wüsste, wie man hier ansetzen sollte bzw. in welchem Problembereich das anzusiedeln ist.

Wenn es viel Konzentration erfordert und spezielles Hintergrundwissen bin ich wegen ersterem z.Z. und wohl für länger komplett raus.

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Nenne bitte drei echte Anwendungen aus der Oberstufenanalysis.

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In den Abiaufgaben kommen viele lebensbezogene Aufgaben vor, in allen Prüfungsbereichen, was ich so mitgekriegt habe. Doch das weißt du sicher besser als ich. Zu meiner Zeit war der Praxisbezug bei fast Null.

Optimimierungsaufgaben fällt mit gerade ein.

https://www.isb.bayern.de/fileadmin/user_upload/Gymnasium/Leistungserhebungen/Abiturpruefung/Mathematik/2023/abiturpruefung_mathematik_2023_pruefungsteil_b.pdf

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Ach so: Die momentane Änderungsrate der Staulänge wird ja wirklich mithilfe der in IR definierten Funktion f mit f(x)=\( \frac{-5x^4}{16} \)+3x³-9x²+8x festgelegt. Danke für diese Erinnerung an etwas, das mir leider entfallen war.

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Hallo
findest du diese Aufgaben wirklich "Lebernsbezogen", nur weil die Angaben so konstruiert sind, dass sie angeblich wahren Lebenssituationen entsprechen?
Glaubst du irgendjemand würde solche Aufgaben als persönliche Herausforderung empfinden und "lebensnahe", wenn sie nicht Abi Aufgaben wären oder zur Übung solcher verwendet würden?
99% der lebensnahe konstruierten Schulaufgaben kommen im täglichen Leben nicht vor.
zu unserem Überleben kann leider die Mathematik nicht viel beitragen, es sei denn Politiker hätten in ihrem Unterricht rational argumentieren gelernt. Aussagen wie " Wenn man genug Subventionen in Wissenschaft steckt finden die schon eine technische Lösung ohne Veränderungen im Verhalten der Gesellschaft sind einfach nur gefährlich!
Gruß lul

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Ich möchte noch ergänzen, dass ich das Wort "das Geheft" neu in meinen Wortschatz aufnehmen konnte.

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Glaubst du irgendjemand würde solche Aufgaben als persönliche Herausforderung

Nicht als Herausforderung, sondern zumindest den Anschein haben, als kämen sie aus dem Leben.

Wenn man genug Subventionen in Wissenschaft steckt finden die schon eine technische Lösung ohne Veränderungen im Verhalten der Gesellschaft sind einfach nur gefährlich!

Nicht nur das, sondern schlicht blöd und ignorant. Es ist aber auch nicht entscheidend.

Hauptsache ist, der Geldkreislauf wird nicht unterbrochen.

Die Veränderung, die du meinst, ist mit Verzicht verbunden und den will die Masse nicht.

Das komplette Wirtschaftssystem müsste reformiert werden, das bisherige Wachstum ist das Problem, nicht die Lösung. So wird der Kapitalismus genauso scheitern wie der Kommunismus:

Er wird an seiner Gier und in seinem Dreck ersticken. Dagegen kommt keine math. oder andere vernünftige Logik mehr an. Wenn Hawking Recht hat, ist in 100 Jahren der Planet unbewohnbar,

wenn nicht früher. Longum est ... #

Es ist nicht 5 nach 12, sondern mindestens 10 nach 1.

Guten Rutsch! Ausrutschgefahr gering lt. Wetterfrosch.

Credamus vitae, quia absurda est!

Answer 1

Hier mal eine "händische" Herleitung:

Schlüssel ist die Beobachtung: Wenn (r,s) das Problem für ein (x,y) löst, dann löst (pr,ps) das Problem für (px,py) (p ungleich 0), weil dann die a,b,c,d unverändert bleiben. Also braucht man das Problem zum Beispiel nur für \(x^2+y^2=1\) zu lösen. Dann ist es beinahe einfach.

Die ersten beiden Gleichungen ergeben:

$$r(x+y)+s(x-y)=2 \text{  und }r^2+s^2=2$$

Daraus folgt:

$$(r-(x+y))^2+(s-(x-y))^2\\\quad =r^2+s^2-2(r(x+y)+s(x-y))+(x+y)^2+(x-y)^2\\\qquad =2-2 \cdot 2+2=0$$

Also ist notwendig r=x+y und s=x-y. Dies ist offenbar auch hinreichen.

Bleibt noch die dritte Gleichung zu prüfen. Da verlasse ich mich einfach auf die Lösung von Wächter.

Answer 2

Hm, kümmert man sich erstmal nur um die 1.+ 2. NB

\(\displaystyle I \, :=  \, \left\{ a = r \; \frac{x}{x^{2} + y^{2}}, b = s \; \frac{x}{x^{2} + y^{2}}, c = r \; \frac{y}{x^{2} + y^{2}}, d = -s \; \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \right\} \)

Sum(I): \(\displaystyle a + b + c + d = \frac{r \; x + r \; y + x \; s - y \; s}{y^{2} + x^{2}} =2\)

Sum(I I):\(\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 + d^2 =\frac{r^{2} + s^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 2\)

===> \(    \left\{ r = x + y, s = x - y \right\}   \)

und das erfüllt dann auch I I I...

hin geschummelt mit ggb CAS - gildet das ;-)

Comments

Wächter: Was bedeutet die Abkürzung ggb?

Die Verben 'hin geschummelt' und 'gildet' sind Scherze deinerseits?

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ggb=GeoGebra

geschummelt, weil mit Hilfe vom CAS

gildet = gilt dies auch (noch nicht Duden reif, ich weiß)