Norm, Unterräume, Dimension.

Question

Aufgabe:

Sei \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) ein linearer Unterraum. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(a) Die Menge
\( U^{\perp}=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid\langle\vec{x}, \vec{u}\rangle=0 \text { für alle } u \in U\right\} \)
ist ein linearer Unterraum.
(b) Ist \( \vec{u}_{1}, \ldots, \vec{u}_{m} \) eine Basis von \( U \), so gilt
\( U^{\perp}=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n}:\left\langle\vec{x}, \vec{u}_{1}\right\rangle=0, \ldots,\left\langle\vec{x}, \vec{u}_{m}\right\rangle=0\right\} . \)
(c) Es gilt \( U \cap U^{\perp}=\{0\} \).
(d) Es gilt \( \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}\left(U^{\perp}\right)=n \).
(e) Es gilt \( U+U^{\perp}=\mathbb{R}^{n} \).

Problem/Ansatz:

Ich kann die Aufgaben a, b, c problemlos lösen, benötige jedoch Hilfe oder Tipps bei d und e.

Ich habe es (vielleicht) verstanden. Da dim(U1 ∩ U2) + dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2) folgt d und e?

Answer 1

Na dann ist doch alles klar bei d) , wenn du e) schon hast.

Und e) kannst du ja über b) klären:

Wenn du die Basis von U zu einer Basis von \( \mathbb{R}^{n} \)

fortsetzt, dann bilden die dazugekommenen eine Basis von U^T .

Comments

Deine letzte Aussage ist falsch, wenn mit \(U^T\) \(U^{\perp}\) gemeint war.