Rechne alle reellen und komplexen Lösunge der Gleichung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der Gleichung
\( z^{2}+4 \cdot z+29=0 \)

Hinweise:
- Geben Sie die Lösungsmenge in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.

Lösungsmenge: \( \{z 1, z 2, \ldots\} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand vielleicht bei dieser Aufgabe helfen? Ich habe das gerechnet mit quadratischer Gleichung also für a=1, b=4 und c=29. Mein Ergebnis ist am Ende z1= 3+5i, z2= -7. Ist das richtig ? Wenn nein kann mir jemand das Ergbenis nennen ? Gerne bitte auch der Weg will es nachvollziehen können. Gibt es noch mehr als z1 und z2 ? Zum beislpiel z3 oder so? Dankee:**

Comments

Du könntest doch mal selbst die Probe machen und Deine Werte in die Gleichung einsetzen.

Answer 1

Aloha :)

$$z^2+4z+29=0\quad\big|-25$$$$z^2+4z+4=-25\quad\big|\text{1-te binomische Formel links und \(i^2=-1\) rechts}$$$$(z+2)^2=25i^2\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$z+2=\pm5i\quad\big|-2$$$$z=-2\pm5i$$

Answer 2

z1= 3+5i, z2= -7

Das kann doch nicht sein. Es muss wenn dann eine komplexe Zahl und die komplex konjugierte Zahl sein.

Ich komme auf die Lösungen: z1 = -2 - 5·i oder  z2 = -2 + 5·i

Rechne das nochmal nach.

[spoiler]

z^2 + 4·z + 29 = 0
z = -2 ± √(4 - 29) = -2 ± √(-25) = -2 ± 5·i

[/spoiler]

Answer 3

Warum willst du den Weg haben, wenn du doch eigentlich weißt, wie es geht? Verrechnen kann man sich immer, daher sollte man die Probe machen. Also einsetzen und prüfen.

Alternstiv gibt es Tools, womit man seine Ergebnisse prüfen kann. Nutze sie, zum Beispiel WolframAlpha.

Man sollte natürlich wissen, dass Lösungen immer in komplex konjugierten Paaren auftreten. Deswegen kann deine Lösung nicht stimmen. Auch sollte man wissen, dass eine quadratische Gleichung nicht mehr als 2 Lösungen besitzt.

Answer 4

\(z^2+4z+29=0\)  → \(\red{quadratische Ergänzung}\)

\(z^2+4z+(\red{\frac{4}{2})^2}+29=0+(\red{\frac{4}{2})^2}\)  

\(z^2+4z+\red{4}+29=\red{4}  |-29\)

\(z^2+4z+\red{4}=-25\)  →  1.Binom:

\((z+2)^2=-25=25i^2   |\sqrt{~~}\) 

1.)

\(z+2=5i \)

\(z_1=-2+5i \)

2.)

\(z+2=-5i \)

\(z_2=-2-5i \)