Sind die Vektoren linear unabhängig mit komplexen Zahlen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

12.1 Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind:
(a) \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \subset(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{4} \), wobei \( (\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{4} \) als \( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \)-Vektorraum betrachtet wird.
(b) \( \left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}i \\ -1\end{array}\right)\right\} \subset \mathbb{C}^{2} \), wobei \( \mathbb{C}^{2} \) als \( \mathbb{C} \)-Vektorraum betrachtet wird.
(c) \( \left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}i \\ -1\end{array}\right)\right\} \subset \mathbb{C}^{2} \), wobei \( \mathbb{C}^{2} \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum betrachtet wird.
\( (1+1+2 \) Punkte)

Problem/Ansatz:

Aufgabe a habe ich linear unabhängig raus, ist das richtig?

Und mein Problem bei b und c ist: in wie weit ist dort ein Unterschied und wie kann ich dort prüfen ob die Mengen linear unabhängig sind oder nicht. Komplexe Zahlen verwirren mich noch etwas.

Comments

Die Summe aller vier Vektoren aus Aufgabe (a) liefert nach meinen Berechnungen den Nullvektor. Demnach wären die linear abhängig.

Answer 1

Zu b), c): Ziel ist, dass Du merkst, dass die Rechnung jedesmal dieselbe ist.

Zwei Vektoren \(\vec a,\vec b\) sind lin. abh., wenn es \(\lambda_1,\lambda_2\) gibt mit \(\lambda_1\vec a+\lambda_2\vec b= 0\). Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das solltest Du lösen können.

Wenn die gefundenen \(\lambda\)'s beide in \(\R\) liegen, dann sind sie lin. abh. im \(\R\)-Vektorraum. Wenn sie beide in \(\mathbb{C}\setminus \R\) liegen, dann lin. abh. im \(\mathbb{C}\)-Vektorraum. aber nicht im \(\R\)-VR (in letzterem dann also lin. unabh.). Wenn es keine \(\lambda\)'s gibt, dann in beiden VR lin. unabh.

Comments

Also ich habe jetzt aus den Vektoren folgendes Gleichungssystem:
λ₁1 + λ₂i=0
λ₁i - λ₂    =0

Stelle ich die 2. Gleichung nach λ₂ um habe ich:
λ₂=-λ₁i

Das in die 1. Gleichung eingesetzt:

λ₁ (1-i)=0

Demnach wäre dann doch λ₁ =0 also sind sie linear unabhängig für b und c (demnach also im ℂ-VR und ℝ-VR) Ist das richtig?

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Wäre so, ja. Aber du hast beim Umstellen einen Fehler drin und beim Einsetzen noch einen. Und dann sieht die Sache anders aus.

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und wo ist der Fehler?

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Ich hab Dir doch die beiden Stellen genannt.

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Also nochmal (ich habe jetzt mal die 2. Gleichung nach λ₁  umgestellt):

λ₁=λ₂ / i

und das setze ich jetzt in die 1. Gleichung ein und erhalte:

1/i *λ₂ + i λ₂ = 0 => i λ₂ = 0

Ist das jetzt richtig?

Und demnach wären aber die Vektoren für b und c auch linear unabhängig da für bei Koeffizienten wieder 0 raus kommt?

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Du kannst auch die 2. Gl nach \(\lambda_2\) umstellen, wenn Du es richtig machst.

Aber gut, nach \(\lambda_1\) geht auch. Richtig umgestellt, richtig eingesetzt, falsch zusammengefasst.

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Ok muss ich dann λ₂ faktorisieren oder wo genau ist beim Zusammenfassen der Fehler, ich wüsste nicht wie ich es anders zusammenfasse

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Zusammenfassen geht nach dem Muster \(a\,x+b\,x=(a+b)\,x\), wo ist das Problem?

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ja das weiß ich aber hatte mich verrechnet 1/i+i ist ja 0, demnach haben wir ja 0=0 also ist es in ℂ linear abhängig und in ℝ unabhängig?

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Rechne die \(\lambda\)'s aus - konkret angeben. Daran sieht man dann, wie oben erklärt, welche Sorte lin. Abhängikeit vorliegt. Ohne \(\lambda\)'s kann man nichts aussagen.

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Aber wenn sich beim umstellen und zusammenfassen die λ's aufheben, dann kann ich sie doch nicht konkret angeben? Oder ist dann λ₂ ∈ ℂ und λ₁ auch, sodass es eigentlich unendlich viele Lösungen gibt, sodass also im ℂ-VR Linear abhängig sind und im ℝ-VR linear unabhängig?

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Ja, es gibt unendlich viele Lösungen, angeben kann und muss man sie aber - wie will man sonst wissen, ob's reelle oder komplexe sind? Ganz normales Lösen eines unterbestimmten Lgs.

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D.h also das ich die λ's in Abhängigkeit voneinander angebe ?

Und da ja i vorhanden ist in den Abhängikeiten , sind die Lösungen dann doch aus dem Bereich der komplexen Zahlen

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Ja, in Abhängigkeit voneinander. Werden wir dann ja sehen, ob's komplex wird oder nicht. Die Frage ist, kann es mit zwei reellen \(\lambda\)'s gehen. Heißt: Antwortsatz erforderlich.

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Okay ich hoffe ich habe es jetzt . Da es ja unendlichviele Lösungen gibt, kann man demnach bspw. λ₂ beliebig aus ℂ wählen. Sei λ₂=1 dann ergibt sich für λ₁= -i. Da nun die λ's inℝ/ℂ liegen sind sie im ℂ-VR linear abhängig und im ℝ-VR linear unabhängig

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ok. Mit etwas Übung sieht man übrigens gleich, dass die zweite Spalte das i-fache der ersten ist. Dann kann man sich auch das LGS sparen.

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Alles klar Übung macht den Meister,aber danke für deine Geduld dann habe ich die Auuuufgabe jetzt gelöst und es verstanden.