Zeigen Sie, dass die Abbildung \( x \mapsto x^{-1} \) eine Bijektion der
Menge \( \{1, 2, \ldots, p-1\} \) auf sich selbst darstellt.
Bekanntlich ist ja die Menge \( \{0, 1, 2, \ldots, p-1\} \) zusammen mit der
Addition und Multiplikation mod p ein Körper.
injektiv: Also gibt es zu jedem \( \{1, 2, \ldots, p-1\} \) ein Inverses in \( \{1, 2, \ldots, p-1\} \)
und die sind alle verschieden, denn wäre für zwei von 0 verschiedene Elemente
\( a^{-1}=b^{-1} \) Dann liefert die Multiplikation (von rechts mit b)
\( a^{-1}b=1 \) und dann von links mit a gibt es b=a.
surjektiv: Sei \( a \in \{1, 2, \ldots, p-1\} \). Dann ist \( a^{-1} \mapsto (a^{-1})^{-1} = a\)
also gibt es ein Element von \( \{1, 2, \ldots, p-1\} \), [nämlich \( a^{-1} \), das auf
a abgebildet wird. Also ist die Abb. surjektiv.
Wenn man nun alle Elemente von \( \{1, 2, \ldots, p-1\} \) miteinander multipliziert
(Das gibt ja (p-1)! .) dann hat man im Falle p=2 nur die 1 und
die ist dann ja kongruent zu -1 mod 2.
Für p=3 hat man 1*2=2≡-1 mod 3.
Für p>3 hat man \( 1 \cdot (p-1) \cdot \prod\limits_{k=2 }^{p-2} k= (p-1) \cdot \prod\limits_{k=2 }^{p-2} k\) #
p-1 ist zu sich selbst das multiplikative inverse und
von 2,...,p-2 sind ( s. o Bijektion) je zwei zueinander invers,
haben also das Produkt 1, und damit ist \( \prod\limits_{k=2 }^{p-2} k = 1 \).
Damit liefert # das gewünschte Ergebnis; denn p-1 ≡ -1 mod p.
