Äquivalenz von Orthogonalität, Invertierbarkeit und Erhaltung des Skalarprodukts in Matrixräumen

Question

Zeigen Sie, dass für \( U \in \mathbb{K}^{n, n} \) die folgenden Aussagen äquivalent sind:
a) \( U=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \) und \( u_{1}, \ldots, u_{n} \) ist ein ONS.
b) \( U \) ist invertierbar und \( U^{-1}=U^{*} \).
c) \( \langle U x, U y\rangle=\langle x, y\rangle \) für alle \( x, y \in \mathbb{K}^{n} \).

Answer 1

Beweisski

a) => b): Wenn die Spalten ein ONS bilden, gilt \(\langle u_i,u_j\rangle= \delta_{ij}\). Daraus folgt \(UU^* = I\). Hier ist \(\delta_{ij}\) das Kronecker-Symbol.

b) => c): Es ist \(\langle Ux,Uy\rangle=(Ux)^*Uy = x^*U^*Uy=x^*y\). Es ist hoffentlich klar, warum das gilt.

c) => a): Betrachte Standardbasis \(\{e_1,\ldots, e_n\}\). Dann gilt \(\langle u_i,u_j\rangle=\langle Ue_i,Ue_j\rangle=\langle e_i,e_j\rangle\). Also bilden \(\{u_1,\ldots ,u_n\}\) ein ONS.