Begründen Sie: Für n=2 ergibt sich die Standardabweichung eines Bernoulli-Experiments.

Question

Aufgabe:

Eine Zufallsgröße X, die die Werte 1,2,...,n jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{n}$ annimmt, hat den Erwartungswert μ=$\frac{n+1}{2}$ und die Standardabweichung σ = $\sqrt{\frac{n^2 +1}{12}}$

a)

Begründen Sie: Für n=2 ergibt sich die Standardabweichung eines Bernoulli-Experiments.

b) Kontrollieren Sie die Formeln für n=6 (dies entspricht einem Würfel) durch Nachrechnen.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Comments

Kann es sein, dass es $\,\large\sigma=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\,$ heißen soll? Falls dem so sein sollte:
(b)  $n=6$
$\mu=\frac16(1+2+3+4+5+6)=\frac72$.
$\sigma^2=\frac16\big((1-\frac72)^2+(2-\frac72)^2+(3-\frac72)^2+(4-\frac72)^2+(5-\frac72)^2+(6-\frac72)^2\big)=\frac{35}{12}$.

Answer 1

Aloha :)

Dein Leerer hat einen kleinen aber schwerwiegenden Fehler gemacht...

Der Erwartungswert der Zufallsgroße $X$ lautet tatsächlich:$$\pink{\mu=}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}\pink{=\frac{n+1}{2}}$$Die Standardabweichung $\sigma$ ist aber falsch, denn:$$\sigma^2=\small\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n}-\mu^2=\frac{\frac16n(n+1)(2n+1)}{n}-\left(\frac{n+1}{2}\right)^2$$$$\phantom{\sigma^2}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n+1)^2}{4}=\frac{4(n+1)(2n+1)-6(n+1)^2}{24}$$$$\phantom{\sigma^2}=\frac{(n+1)(8n+4)-(n+1)(6n+6)}{24}=\frac{(n+1)(2n-2)}{24}=\frac{n^2-1}{12}$$Das Pluszeichen im Zähler muss also ein Minuszeichen sein:$$\pink{\sigma=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}$$

zu a) Ein Bernoulli-Experiment mit $n=2$ hätte die beiden möglichen Ereignisse $1$ und $2$, die beide jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $\frac12$ eintreten. Der Erwartungswert ist also:$$\mu_B=\frac{1+2}{2}=\frac32$$und die Standardabweichung ist:$$\sigma_B=\sqrt{\frac{1^2+2^2}{2}-\mu_B^2}=\sqrt{\frac52-\frac94}=\sqrt{\frac14}=\frac12$$

Setzen wir $n=2$ in die pinken Formeln von oben ein, gilt:$$\pink\mu=\frac{2+1}{2}=\frac32=\mu_B\quad\checkmark$$$$\pink\sigma=\sqrt{\frac{2^2-1}{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac14}=\frac12=\mu_B\quad\checkmark$$

zu b) Für den Fall eines Würfels mit $n=6$ erhalten wir analog:$$\mu_W=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac72$$und die Standardabweichung ist:$$\sigma_W=\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}-\mu_W^2}=\sqrt{\frac{91}{6}-\frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{35}{12}}$$

Setzen wir $n=6$ wieder in die pinken Formeln von oben ein, gilt:$$\pink\mu=\frac{6+1}{2}=\frac72=\mu_W\quad\checkmark$$$$\pink\sigma=\sqrt{\frac{6^2-1}{12}}=\sqrt{\frac{35}{12}}=\mu_W\quad\checkmark$$