Gleichung vierten Grades komplexe Zahlen. Nachweis Lösungen berechnen

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Gleichung z⁴-z³+8z-8=0 für z ∈ ℂ. Weisen Sie zunächst nach, dass z=1 eine Lösung der Gleichung ist. Berechnen Sie dann alle weiteren Lösungen der Gleichung.

Hinweis: Verwenden Sie hierfür, dass z=1 eine Lösung der Gleichung ist und spalten Sie den zugehörigen Linearfaktor ab.

Problem/Ansatz: z=1 ist eine Lösung da 0=0. Mit Polynomdivision hab ich dann z³+8 raus. z³=-8. z1=-2, denn (-2)³=-8.
-8 in Polardarstellung ist 8e^iπ.
z³=8e^iπ+2πk, k=0,1,2,..

Lsg.:
z2=1-√3i
z3=1+√3i

Wie kommt man auf die letzten beiden Lösungen?

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die Gleichung:$$f(z)\coloneqq z^4-z^3+8z-8\stackrel!=0\quad;\quad z\in\mathbb C$$

Wir prüfen zunächst durch Einsetzen, dass \(\pink{z_0=1}\) eine Lösung der Gleichung ist:$$1^4-1^3+8\cdot1-8=1-1+8-8=0\quad\checkmark$$

Wir wissen daher, dass der Linearfaktor \((z-1)\) in dem Polynom enthalten sein muss. Diesen klammern wir wie folgt aus:$$f(z)=z^4-z^3+8z-8$$$$\phantom{f(z)}=z^3\cdot\pink{(z-1)}+8\cdot\pink{(z-1)}=(z^3+8)\cdot\pink{(z-1)}$$

Bleiben noch die 3 Nullstellen von \((z^3+8)\) zu bestimmen. Hier sieht man sofort die nächste Lösung \(\pink{z_1=-2}\), wie man durch Einsetzen sofort nachprüft. In dem Term \((z^3+8)\) verbirgt sich also der Linearfaktor \((z+2)\):$$z^3+8=\left(\cdots\right)\cdot(z+2)$$Es ist klar, dass wir in der Klammer mit den Punkten ein \(z^2\) benötigen:$$z^3+8=(z^2+\cdots)\cdot(z+2)=z^3+2z^2$$Den Term \(2z^2\) brauchen wir nicht, denn in \((z^3+8)\) kommt kein \(z^2\) vor. Daher kommt in die Klammer mit den Punkten noch der Term \((-2z)\):$$(z^3+8)=(z^2-2z+\cdots)\cdot(z+2)=z^3+2z^2-2z^2-4z=z^3-4z$$Auch den Term \((-4z)\) brauchen wir nicht, weil in \((z^3+8)\) kein \(z\) auftaucht. Also packen wir in die Klammer mit den Punkten noch eine \((+4)\) hinein:$$(z^3+8)=(z^2-2z+4)\cdot(z+2)$$Damit haben wir den zweiten Linearfaktor der Funktion \(f(z)\) abgespalten:$$f(z)=(z^2-2z+4)\cdot\pink{(z+2)}\cdot\pink{(z-1)}$$

Die verbliebene Parabel \((z^2-2z+4)\) kannst du nun mit der pq-Formel zerlegen:$$z_{3;4}=1\pm\sqrt{1-4}=1\pm\sqrt{-3}\stackrel{(i^2=-1)}{=}1\pm\sqrt{3i^2}=\pink{1\pm i\sqrt3}$$

Zusammengefasst heißt das:$$f(z)=\pink{(z+i\sqrt3)(z-i\sqrt3)(z+2)(z+1)}$$

Answer 2

Spalte den Linearfaktor (z+2) aus x³+8 ab und löse die quadratische Gleichung.

Answer 3

Wie kommt man auf die letzten beiden Lösungen?

Ich gehe mal auf Deine Frage nach der Lösung über Polarkoordinaten ein: Du suchst Lösungen der Gleichung \(z^3=-8\) mit dem Ansatz \(z=r\exp(i\phi), r>0\) (ich schreibe \(\exp(s)\)statt \(e^s\)). Das führt zu

$$z^3=r^3\exp(3i \phi)=-8=8\exp(i\pi)=8\exp(i\pi+2k\pi i), \quad k \in \Z$$

Durch Vergleich folgt \(r^3=8\), also \(r=2\), durch Vergleich der Winkel:

$$\phi=\frac{\pi+2k\pi}{3}$$

Für k=0 erhältst Du die Lösung

$$z=2\exp(\frac{i \pi}{3})=2(\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3}))=1+i\sqrt{3}$$

Für k=1 erhältst Du die Lösung \(z=-2\) und für k=2 die Lösung \(z=1-i\sqrt{3}\)

Weitere Lösungen gibt es nicht. Wenn Du andere k ausprobierst, landest Du immer bei einer dieser 3 Lösungen, weil sin und cos \(2\pi\)-periodisch sind