Gruppenaxiome/ Lösumgsmenge

Question

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Aufgabe 2 (10 Punkte)
Sei \( \mathbb{Z}_{4}=\left\{[x]_{4}: x \in \mathbb{Z}\right\} \).
1. Prüfen Sie, ob für \( \left(\mathbb{Z}_{4},+\right) \) die Gruppenaxiome G2, G3 und G4 gelten.
2. Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an:
\( [3]_{4} \cdot x=[1]_{4} . \)

Wie beweise ich Geuppenaxiome?

Comments

Sehr studentenfreundliche Formulierung von 1. – im Gegensatz zu der (womölich gemeinten) Aufgabe "Prüfen Sie für \( \left(\mathbb{Z}_{4},+\right) \) die Gruppenaxiome G2, G3 und G4 auf Gültigkeit."

Answer 1

Wie beweise ich Gruppenaxiome?

Du musst sie ja nur für \( \mathbb{Z}_{4}=\left\{[x]_{4}: x \in \mathbb{Z}\right\} \) prüfen.

Eines ist sicher: Es existiert ein neutrales Element.

In deinem Fall ist das \( [0]_{4} \); denn für alle \( [x]_{4} \in \mathbb{Z}_{4} \)

gilt \( [x]_{4}+[0]_{4} = [0]_{4}+[x]_{4} =[x]_{4} \).

Und bei den Inversen ist immer \( [4-x]_{4}\) das Inverse zu \( [x]_{4} \).

\( [3]_{4} \cdot x=[1]_{4}  \) hat nur die Lösung \( x=[3]_{4}  \).

Answer 2

Indem du sie nachrechnest. Da die Gruppe hier nur 4 Elemente hat, könntest du beispielsweise die Verknüpfungstafel aufstellen.