Zeigen Sie, dass c genau dann ein Vielfaches von d ist, wenn die Zahl

Question

Text erkannt:

Sei \( g>1 \) eine natürliche Zahl, sowie \( d \in N \) ein Teiler von \( g^{2}+1 \). Sei weiter \( c=\left.a_{2 m+1} a_{2 m} \cdots a_{1} a_{0}\right|_{g} \) eine \( g \)-aldarstellung der natürlichen Zahl c, wobei \( m \) eine natürliche Zahl ist. Zeigen Sie, dass c genau dann ein Vielfaches von d ist, wenn die Zahl
\( \sum \limits_{k=0}^{m}(-1)^{k} \cdot\left(a_{2 k+1} \cdot g+a_{2 k}\right) \)
ein Vielfaches von d ist.

Problem/Ansatz:

Ich hab keine ansatz nichts. Kann mir wer helfen

Comments

Was ist eine g-aldarstellung von c? g

g-adisch hieße doch an*g^n als Summanden?

Answer 1

Hallo,

Ich hab keine ansatz nichts. Kann mir wer helfen

Du könntest damit beginnen, das \(c\) als Summe von \(0\) bis \(k\) formal hin zu schreiben:$$c = \sum \limits_{k=0}^{m} \left(a_{2k} + g \cdot a_{2k+1}\right) \cdot g^{2k}$$und das sieht doch schon so ähnlich aus, wie diese mysteriöse Summe \(s\)$$s= \sum \limits_{k=0}^{m}(-1)^{k} \cdot\left(a_{2 k+1} \cdot g+a_{2 k}\right)$$Wenn die Differenz \(c-s\) ein Vielfaches von \(d\) ist, dann ist doch \(c\) genau dann ein Vielfaches von \(d\), wenn auch \(s\) ein Vielfaches von \(d\) ist. Also rechne ... $$\begin{aligned} c-s &= \sum \limits_{k=0}^{m}\left(a_{2k} + g \cdot a_{2k+1}\right) \cdot g^{2k} - (-1)^{k} \cdot\left(a_{2 k+1} \cdot g+a_{2 k}\right) \\ &= \sum \limits_{k=0}^{m}\left(a_{2k} + g \cdot a_{2k+1}\right) \left( g^{2k} - (-1)^{k}\right)\end{aligned}$$Und der Term$$g^{2k} - (-1)^{k} \quad k \in\mathbb{N}_0$$ist stets durch \(g^2+1\) teilbar und somit auch durch jeden Teiler \(d\) von \(g^2+1\).

Das nachzuweisen überlasse ich Dir. Wenn Du da Probleme hast, so melde Dich bitte noch einmal.

Gruß Werner