Question

Die Zahl n hoch 6 - 5* n hoch4 + 4* n hoch 2 ist ein Vielfaches von 360.
Kann ich diese Aufgabe über den Beweis durch Widerspruch lösen, also die Zahl n hoch... ist kein Vielfaches von 360 oder reicht das nicht aus?

Comments

Wie würdest du denn versuchen zu zeigen, dass es falsch ist, dass die Zahl kein Vielfaches von 360 ist ohne dabei direkt zu zeigen, dass die Zahl ein Vielfaches von 360 ist? Merkst du worauf ich hinaus will?

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Ist das gemeint?$$ \text{Die Zahl}\quad n^6 - 5 \cdot n^4 + 4 \cdot n^2 \quad\text{ist ein Vielfaches von 360.} $$

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Ja, du meinst jetzt wenn ich das mit Widerspruch mache, dann zeige ich auch gleichzeitig schon, dass es ein Vielfaches von 360 ist.
Das heißt ich muss das ganze doch mit vollständiger Induktion beweisen?

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Ja, diese Gleichung ist gemeint

Answer 1

n^6 -5n^4 +4n^2 =
n^2 *(n^6 -5n^4 +4n^2 )=

n^2 *(n^2-4 )(n^2-1) =

n^2 *(n-2 )(n+2)(n-1)(n+1)  =
( n-2)*(n-1)*n*(n+1)(n+2)*n

Der Term ist also immer das n-fache eines Produktes
von 5 aufeinaderfolgenden ganzen (???) Zahlen.
Nur für ganze Zahlen macht das ja irgendwie Sinn,
auch wenn das nicht da stand.

also ist der entweder = 0 ( also Vielfaches von 360)
oder
von diesen 5 Zahlen ist immer eine durch 5 teilbar und
2 sind durch 3 teilbar
und entweder sind drei dieser
Zahlen durch 2 teilbar (n-2),n und (n+2) oder
nur zwei, also etwa n-1 und n+1 .
Dann ist aber eine davon auch durch 4 teilbar.
Kurzum: Man hat midestens  3 mal den Primfaktor 2
und zweimal die 3 und einmal die 5.
macht 2*2*2*3*3*5 = 360.
Also steckt der Faktor 360 drin.

n6−5⋅n4+4⋅n2is

Comments

das mit den ganzen Zahlen stand in der Aufgabenstellung hab ich nur total vergessen dazu zuschreiben

Answer 2

das ist keine Gleichung sondern eine Aussage. Induktion wäre natürlich einen Versuch wert, da wir uns aber hier im Bereich Zahlentheorie bewegen würde ich erstmal vorschlagen die Zahl zu faktorisieren und zu prüfen ob die Teiler von 360 auch Teiler dieser Zahl sind, dann ergibt sich die Behauptung ja sofort.

Gruß

Comments

Okay ich stehe auf dem Schlauch, heißt das ich faktorisiere 360 oder die Aussage?

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Hast ja jetzt deine Antwort ;)

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ja, würde ich mal auf so einen Ansatz kommen oh man

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Dieses Vorgehen wird bei diesem Aufgabentypus eigentlich sehr oft verwendet. Jetzt kennst du's ja ;).