Überprüfen ob Tripel ein Gruppe bilden

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie folgende Tripel darauf, ob sie Gruppen bilden.

(i) ($\mathbb{N}, \cdot, 1$)

(ii) ($\mathcal{P}(\{1,2,3\}), \cup, \emptyset$)

(iii) ($(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}), \cdot, \overline{1}$), wobei "$\cdot$" die Repräsentanten multipliziert

(iv) ($(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \setminus \{\overline{0}\}, \cdot, \overline{1}$), wobei "$\cdot$" die Repräsentanten multipliziert

(v) (Mat$_{2x2}(\mathbb{R}), \cdot, \mathbb{I}_2)$, wobei $\cdot$ die Matrizenmultiplikation ist

Answer 1

i) keine Gruppe. z.B. 2 besitzt kein Inverses.

ii) ∅ ist neutral, aber dann hat z.B. {1} kein Inverses; denn

jede Menge vereinigt mit {1} enthält ja jedenfalls die 1.

iii) $\overline{2}$ hat kein Inverses.

iv) ist eine Gruppe.

v)  z.B. die 0-Matrix hat kein Inverses.

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