Nichtlineares Gleichungssystem mit Newton Verfahren

Question

Text erkannt:

Betrachten Sie das nichtlineare Gleichungssystem \( F\left(x_{1}, x_{2}\right)=y \) mit
\( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{l} F_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right) \\ F_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x_{1}^{2} \sin \left(x_{2}\right) \\ \cos \left(x_{1}\right)+x_{2} \end{array}\right] \quad \text { und } \quad y=\left[\begin{array}{l} 0 \\ a \end{array}\right] \)
sowie einem reellen Parameter \( a \in \mathbb{R} \).
(a) Geben Sie den Algorithmus des Newton-Verfahrens zur Berechnung einer Lösung von \( F\left(x_{1}, x_{2}\right)=y \) vollständig und explizit an.
(b) Sei \( a=1 \). Berechnen Sie (per Hand) ausgehend vom Startwert \( x^{(0)}=\left[x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}\right]^{\top}= \) \( [\pi / 2, \pi / 2]^{\top} \) die erste Iterierte \( x^{(1)} \) des Verfahrens.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme ständig durcheinander bei den Rechnungen und glaube mein Ansatz ist schon verkehrt. Hat jemand vielleicht eine Idee bzw Schritt-für-Schritt Anleitung für mich? Ich wäre sehr dankbar.

LG

Gurke

Comments

Dann lade mal Deinen Ansatz und Deine Rechnung hoch. Dann können wir gezielt schauen, wo es schief läuft.

Wie der Algorithmus Schritt für Schritt abläuft, war sicher in Deiner Vorlesung Thema und im Internet findet man das alles auch erklärt, auch mit Beispielen.

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Habe zuerst versucht funktionswerrt und gradient zu berechnen von F am Punkt x^(k) mit der jacobi Matrix Ableitungen erzielt und kam auf x^(k+1) = x^k + Δx^k aber das macht alles gar kein Sinn

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Nochmal: lade deinen Ansatz und Rechnung hoch, am besten als Foto. Sonst bleibt es schwammig und es bleibt unklar, was an deinem Vorgehen richtig, was falsch ist.

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Text erkannt:

a) \( x^{(0)}=\left[x_{2}^{(0)}\right] \quad k=0,1_{1} \ldots \), Funlutionswert und Gradient von \( f \) an Pumbt \( x^{(0)} \)
\( \begin{array}{l} F\left(x^{(k)}\right)=\left[\begin{array}{l} F_{1}\left(x_{1}{ }^{(k)}, x_{2}^{(l)}\right) \\ F_{2}\left(x_{1}^{(k)}, x_{2}^{(k)}\right) \end{array}\right] \quad f\left(x^{(k)}\right)=\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} \end{array}\right] \\ y\left(x^{(h)}\right) \cdot \Delta x^{(k)}=-F\left(x^{(k)}\right) \\ x^{(h ! 1)}=x^{(h)}+\Delta x^{(h)} \\ \end{array} \)
b)
\( \begin{array}{l} a=1 \quad x^{(0)}=\left[\begin{array}{c} \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \end{array}\right] \quad F\left(x^{(0)}\right)=\left[\begin{array}{c} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{\pi^{2}}{4} \\ 1+\frac{\pi}{2} \end{array}\right] \\ f\left(x^{(0)}\right)=\left[\begin{array}{cc} \pi \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) & \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \\ -\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{\pi^{2}}{2} \\ -1 & 1 \end{array}\right] \\ \partial\left(x^{(0)}\right) \cdot \Delta_{x^{(0)}}=-F\left(x^{(0)}\right) \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{\pi^{2}}{2} \\ -1 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} \Delta_{x_{1}}{ }^{(0)} \\ \Delta_{x_{2}}{ }^{(0)} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -\frac{\pi^{2}}{4} \\ -1-\frac{\pi}{2} \end{array}\right] \\ \Delta_{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{l} -\frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \end{array}\right] \\ x^{(1)}=x^{(0)}+\Delta x^{(0)}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \\ \end{array} \)

Answer 1

Aha. Zu a): Du solltest den Algorithmus vollständig und explizit für \(F(x_1,x_2)=y\) angeben. Du hast den Algorithmus vollständig, aber allgemein, also nicht explizit, für \(F(x_1,x_2)=(0,0)^T\) angegeben.

Zu b): Du hast \(F(x^{(0)})\) berechnet, aber um das geht es hier nicht (weil es nicht um \(F\) geht). Daher war ja vorbereitend in a) nach der expliziten Formulierung gefragt. In Deinem \(J_F\) (prüfe, ob wir das hier brauchen), muss links oben \(2x_1\sin x_2\) stehen. Das würdest Du aus a) entnehmen, wenn Du a) gemacht hättest.

Mach Dir erstmal klar, um was es hier geht. Es geht nicht um Nullstellen von \(F\). Sondern?

Comments

Ich glaub ich lass die Aufgabe am besten sein…

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Warum? Die Lösung von a) führt dazu, dass man in b) nur noch rechnen muss. Aber erstmal in a) genau lesen.