Wieviel mal wird sich Kreis A dabei um sich selber drehen?

Question

Aufgabe:

Der Radius von Kreis A beträgt $\frac{1}{3}$ des Radius von Kreis B. Kreis A wird um den Kreis B herum abgerollt, bis er wieder in der Ausgangslage ankommt. Wieviel mal wird sich Kreis A dabei um sich selber drehen?

Problem/Ansatz:

Der Mittelpunkt von A bewegt sich um den Mittelpunkt von B.

Comments

Nachdem nun die zahlreichen guten Beiträge durch sind, halte ich noch fest woher ich die Aufgabe habe. In meiner Social-Media-Babbel wurde ungefragt dieser Link auf die Aufgabe angezeigt: https://mathematicsart.com/solved-exercises/solution-circle-a-rolls-… (ohne Verfasser und ohne Datum).

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Offenbar wurde 1982 damit der SAT-Test verbockt, und zwar von den Veranstaltern:

https://www.nytimes.com/1982/05/25/us/error-found-in-sat-question.ht…

https://www.scientificamerican.com/article/the-sat-problem-that-ever…

Answer 1

Hallo döschwo,

ein Bild sagt mehr als 1000 Worte ;-)

Comments

Wunderprächtig, danke.

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... jetzt sollte es deutlich sein, dass bis 4 gezählt wird.

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Ist sogar noch besser geworden, Du hast ja noch ein paarmal daran herumgemacht, danke. :)

Answer 2

Aloha :)

Dieses Phänomen können wir jeden Tag beobachten...

Ein Tag dauert 24 Stunden, gemessen vom höchsten Punkt der Sonne um 12:00 Uhr (Winterzeit) bis zum nächsten höchsen Sonnenstand am Folgetag um 12:00 Uhr (Winterzeit). Während dieser Zeit dreht sich die Erde nicht nur um sich selbst, sondern bewegt sich zusätzlich auch mit ca. $30\frac{\mathrm{km}}{\mathrm s}$ auf ihrer Bahn um die Sonne weiter. Daher muss sich die Erde nicht nur 1-mal vollständig um ihre eigene Achse drehen, sondern zusätzlich ein bisschen weiter, damit um 12:00 Uhr die Sonne wieder am höchsten Punkt steht.

Über das Jahr gesehen summiert sich diese kleine Zusatzdrehung auf eine vollständige Erdumdrehung. Ein Jahr hat im Durchschnitt $365\,\frac{97}{400}$ Tage, was aber $366\,\frac{97}{400}$ Drehungen der Erde um ihre eigene Achse entspricht.

Die Erde braucht also für eine Umdrehung nicht $24$ Stunden, sondern:$$24\,\mathrm h\cdot\frac{365\,\frac{97}{400}}{366\,\frac{97}{400}}\approx23\,\mathrm h\,56\,\mathrm{min}\,4\,\mathrm s$$

Leider haben viele Menschen falsch abgespeichert, dass sich die Erde in 24 Stunden 1-mal um ihre Achse dreht. Wenn man jedoch den beschriebenen Effekt kennt, ist die Antwort auf die Frage von döschwo sofort klar.

Answer 3

Kreis A hat Radius r , dann hat B den Radius 3r.

Die Umfänge sind dann

u_A=2*pi*r     u_B=2*pi*3r=6*pi*r = 3*u_A .

Also dreht A sich 3 mal um sich selbst.

Comments

Also dreht A sich 3 mal um sich selbst.

Nach dieser Logik müsste bei gleichen Radien von A und B der Kreis A sich einmal um sich selbst drehen. Nimm mal zwei Münzen und probiere es.

Bei gleichen Radien dreht sich A ZWEIMAL um sich selbst.

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Man könnte auch überlegen, was passiert wenn A an der Innenseite von B abgerollt wird.

Gerade hereingekommen, eine verwandte Aufgabe von Roland: https://www.mathelounge.de/1060436/

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Nimm mal zwei Münzen und probiere es

Daher stammt der Spruch "Der Rubel rollt".

Answer 4

Hallo 2CV,
r kleiner kreis = 1
Der Umfang ist
UK = 2*r * PI = 2 * PI
R großer Kreis = 3 * r =  3
UG = 2 * R * pi = 2 * 3 * PI = 6*PI

Die Kreise ausgerollt und die Umfänge als Längen
nebeneinandergelegt.
UG / UK = 6 * PI / ( 2 * PI ) = 3

Der kleine Kreis erreicht nach 3 facher Umdrehung wieder
den Ausgangspunkt.

Zu einfach gedacht ?

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Hallo Georg, ja. Darum habe ich die Aufgabe gestellt.

Es ergab sich vor etwa 20 Jahren, dass ein Nichtökonom den Wirtschaftsnobelpreis bekam. Ich habe dann gelesen, was der so schreibt. In einem populären Buch erzählt er, dass und weshalb Menschen dazu neigen, manchmal allzu intuitiv zu denken.

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Hallo 2CV,
du äußerst dich etwas kryptisch.
Was stimmt nun
- mathef, meine Antwort, Antwort von Werner-Salomon ( 3 mal )
oder
abcus ( 2 mal ) ?

mfg Georg

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Nach Abrollen eines Drittels des großen Kreisumfangs hat sich die kleine Münze offenbar um mehr als einmal - nämlich (1 + 1/3) mal - um sich selbst gedreht

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Antwort von Werner-Salomon ( 3 mal )

Werner sagt nicht 3 mal. Bei seiner Animation ist der rote Punkt am Schluss der Umkreisung das vierte Mal unten angekommen.

Abakus hat natürlich recht, aber er äußert sich über zwei gleichgroße Kreise.

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Ich sehe nur 3 mal.

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Schau bei der Animation von Werner auf den kleinen roten Punkt und zähle, wie oft der unten ist.

Es sind ja nicht einfach Zahnräder mit fixer Achse, sondern der eine Kreis muss zusätzlich noch einmal um den anderen herumrollen.

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Ich sehe nur 3 mal.

dann schaue jetzt nochmal hin. Gezählt wird jeweils am Ende einer Umdrehung. Ich habe den 'Zählimpuls' noch etwas nach vorn verlagert.

@döschwo: Wartezeiten kann man leider nicht eingeben.

Answer 5

Damit die GeoGebraisten auch was zu Spielen haben

https://www.geogebra.org/m/k7npchsy

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Danke für Deine Mühe.