Eigenwerte berechnet, komme nicht auf Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A mit A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Als Eigenwerte habe ich λ_1,2=1, λ₃=-1 herausbekommen. Ich komme irgendwie nicht auf sinnvolle Eigenvektoren, da sich fast alles nach dem Gauß-Verfahren aufhebt.

Answer 1

Aloha :)

Hier ist die Summe jeder Zeile der Matrix gleich \((-1)\). Daher ist \((-1)\) ein Eigenwert der Matrix und der zugehörige Eigenvektor ist \((1;1;1)^T\). Denn genau dieser Vektor sorgt dafür, dass im Ergebnisvektor die Summe jeder Zeile steht:

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -2\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}\red1\\\green1\\\blue1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot\red1+0\cdot\green1+(-2)\cdot\blue1\\0 \cdot\red1+1\cdot\green1+(-2)\cdot\blue1\\0\cdot\red1+0\cdot\green1+(-1)\cdot\blue1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\underbrace{(-1)}_{=\lambda_1}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}_{=\vec v_1}$$Die Summe der Diagonalelemente einer Matrix ist gleich der Summe der Eigwenwerte und die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte. Da wir eine Dreiecksmatrix vorliegen haben, ist die Determinante gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen. Das heißt für die Eigenwerte:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=-1$$Wir setzen den bereits bekannten Eigenwert \(\lambda_1=-1\) ein und erhalten:$$\lambda_2+\lambda_3=2\quad;\quad \lambda_2\cdot\lambda_3=1\quad\implies\quad\lambda_2=\lambda_3=1$$

Für den doppelten Eigenwert \(\lambda_2=\lambda_3=1\) finden wir die Eigenvektoren durch Lösen des folgenden Gleichungssystems:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline1-\lambda & 0 & -2 & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen}\\0 & 1-\lambda & -2 & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen}\\0 & 0 & -1-\lambda & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen}\\\hline 0 & 0 & -2 & 0 &\Rightarrow -2x_3=0\\0 & 0 & -2 & 0 & \Rightarrow -2x_3=0\\ 0 & 0 & -2 & 0 & \Rightarrow -2x_3=0\end{array}$$Offensichtlich ist das Gleichungssystem gelöst, falls \(\pink{x_3=0}\) ist.

Wir geben alle Lösungen explizit an und identifizieren 2 Basis-Vektoren bzw. 2 Eigenvektoren zum doppelten Eigenwert \(\lambda_2=\lambda_3=1\):$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\pink{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\pink{0}\end{pmatrix}=x_1\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec v_2}+x_2\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}_{=\vec v_3}$$

Answer 2

Natürlich sind die Lösungen des LGS für die EVen nicht eindeutig bestimmt. Es gibt ja unendlich viele EVen. Hier geht es also um das Lösen von unterbestimmten LGS, das solltest Du gelernt haben.

Hier ist es sogar einfacher, weil Du ja nur max. drei lin.unabh. EVen finden musst. Die Lösungsmenge zu finden ist gar nicht nötig.

Zu \(\lambda=-1\) reicht es einen EV anzugeben. Welchen findest Du?

Comments

Für λ = -1 habe ich den Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) herausbekommen. Aber das mit λ = 1 verstehe ich nicht. Ich hab bis jetzt immer nur mit LGS mit maximal 1 Nullzeile bei insgesamt 3 Zeilen gerechnet. Wie müsste ich denn weiter machen? Ich habe nachdem Gauß-Verfahren \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) erhalten.

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Mach mit den von Dir gefundenen EVen die Probe - nach meiner Rechnung stimmt Dein Vektor nicht.

Beim anderen EW brauchst Du wie gesagt zwei lin. unabh.. Wenn Du nur das Lösen mit einer Nullzeile kannst, hast Du nicht wirklich verstanden was Du da machst. Ist aber hier auch nicht nötig. Finde also durch Raten zwei lin. unabh. Lösungen. Vergiss die Probe nicht.

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Ja, für den EW 1 sind die EVen \((1,0,0)^T\) und \((0,1,0)^T\). Kann man mit etwas Übung auch direkt sehen.

Answer 3

Du kommst auf

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrr}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

d.h. λ=1 erhältst Du die AUssage x3=0 und x1,x2 sind freie Variablen beliebig

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}x1\\x2\\0\\\end{array}\right)\to EV_{\lambda=1}=e_1,e_2\)

Comments

Dann wäre \( \vec{x} \) = s · \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)  + t · \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) die einzige Lösung für λ = 1 oder? Also die Parameter weil x₁ und x₂ alles mögliche sein können.

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Yep, so sieht es aus. Mit dem anderen EV kommst Du zurecht?