Sehr knifflige Potenzreihe, Konvergenzradius bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme Konvergenzradius:

\( \sum \limits_{k=7}^{\infty} 4 k^{5} 3^{k} x^{k^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich kriege es nicht hin diesen term so umzuformen damit es in etwa so aussieht:

\( p(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \)

Das ist doch denke ich mal das Ziel oder?

Zumindest braucht man so eine Ausgangssituation um Cauchy Hadamard nutzen zu können.

Answer 1

Wenn du Cauchy-Hadamard anwenden willst, musst du die Koeffizienten-Folge in geeignete Teilfolgen zerlegen:

$$a_{n} = \left\{ \begin{array}{cl} 4k^53^k & n= k^2 \\ 0 & sonst \end{array} \right.$$

Für den Konvergenzradius \(r\) gilt

$$r = \frac 1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$

Also berechnest du

$$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{k\to\infty}\sqrt[{\color{blue}{k^2}}]{4k^53^k} = 1$$

Damit ist \(r=1\).

Du kannst aber auch mit den herkömmlichen Konvergenzkriterien für Reihen arbeiten. Zum Beispiel ergibt das Quotientenkriterium für Reihen:

$$\frac{4(k+1)^53^{k+1}|x|^{(k+1)^2}}{4k^53^k|x|^{k^2}}= 3\left(\frac{k+1}k\right)^5|x|^{2k+1}\stackrel{k\to\infty}{\longrightarrow}\left\{ \begin{array}{cc} 0 & |x| < 1 \\ 3 & |x| = 1 \\ \infty & |x| > 1\end{array} \right.$$

Also wiederum \(r=1\).

Comments

Ich stehe wirklich auf dem Schlauch mit n=k^2, verstehe nicht wieso x deswegen jetzt beseitigt wurde. Das Ziel ist doch den Term so umzuformen, damit wir den nutzen können aber wieso x wegmuss und der Rest bleibt verstehe ich nicht.

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Du solltest genauer angeben, worauf du dich beziehst.

Schau dir außerdem nochmal die Cauchy-Hadamard-Formel für den Konvergenzradius an.

Wenn du den \(\limsup\) bestimmst, betrachtest du Teilfolgen \(\sqrt[n_k]{a_{n_k}}\), die gegen den größten Häufungspunkt der Folge \(\sqrt[n]{a_n}\) konvergieren. Hier ist das \(\sqrt[n_k]{a_{n_k}} = \sqrt[k^2]{a_{k^2}}\) mit \(a_{k^2} = 4k^53^k \).

Schreib doch mal ein paar Glieder der Reihe auf.