Integral berechnen durch Substitution

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 13.3 Berechnen Sie unter Verwendung der angegebenen Substitution die folgenden Integrale:
(a) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x \), setzen Sie \( t=\sin (x) \)
(b) \( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \), setzen Sie \( x=t^{2} \)
(c) \( \int \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \), setzen Sie \( x=t^{2} \)
(d) \( \int x^{2} \sqrt{2 x-5} \mathrm{~d} x \), setzen Sie \( x=\frac{1}{2}\left(t^{2}+5\right) \)

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Früher musste man die Substitution noch selbst finden...

Answer 1

\( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x \)

\( t=\sin (x) \) ==>   \( \frac{dt}{dx}=\cos(x) \)  ==>    \(dx =  \frac{dt}{\cos(x)} \)

Und erst mal ohne Grenzen gibt es

\( \int  \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x =  \int \frac{\cos (x)}{1+t^{2}}   \frac{dt}{\cos(x)} =  \int \frac{1}{1+t^{2}} dt \)

\(= \arctan(t) + C =  \arctan(\sin(x)) + C  \).

==> \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x =[ \arctan(\sin(x)) ]_0^{\frac{\pi}{4}}=\arctan(\frac{\sqrt{2}}{2}) \) ≈ 0,615