Aloha :)
Nach dem Leibniz-Kriterium reicht für die Konvergenz einer alternierenden Summe \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n\) aus, dass die Folge \((a_n)\) eine monotone Nullfolge ist.
$$\sqrt{n+1}>\sqrt n\implies\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt n}\implies\frac{2}{\sqrt{n+1}}<\frac{2}{\sqrt n}\implies a_{n+1}<a_n$$
Die Folge \((a_n)\) ist also streng monoton fallend. Dass \((a_n)\) gegen Null konvergiert sollte klar sein.
Daher konvergiert die angegebene Summe.
Falls in der Klammer keine \((-1)\), sondern eine \(1\) steht, divergiert die Summe, denn:$$\sqrt n\le n\implies\frac{1}{\sqrt n}\ge\frac1n\implies\sum\limits_{n=1}^\infty(1)^n\frac{2}{\sqrt n}=2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt n}\ge2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$Dass die harmonische Reihe divergiert, war sicher in der Vorlesung dran ;)
