Aufgabe war:
Sei L = Q(^3√2, ζ_3), wobei 3 eine nicht triviale dritte Einheitswurzel ist, d.h. eine von 1 verschiedene Losung der Gleichung X^3 = 1 in Q, einem festen algebraischen Abschluss von Q.
Bestimmen Sie, wenn moglich, Zwischenkörper Q ⊆ E_i ≤ L_i, i ∈ {1, 2}, derart, dass
• die Erweiterung E_1/Q normal ist, bzw.
• die Erweiterung E_2/Q nicht normal ist.
oder argumentieren Sie, wieso solche Erweiterungen nicht existieren.
Lösung:
Im ersten Aufgabenteil haben wir festgestellt, dass die Galoisgruppe isomorph zu S_3 ist und somit lauten die Untergruppen:
{1}, ⟨(1 2)⟩, ⟨(1 3)⟩, ⟨(2 3)⟩, ⟨(1 2 3)⟩ und S_3
wobei lediglich die trivialen Untergruppen und ⟨(1 2 3)⟩ Normalteiler von S_3 sind. Die normalen Erweiterungen sind nach der Galoiskorrespondenz also
L^{1} = L, L^⟨(1 2 3)⟩ = Q(ζ_3), L^(S_3) = Q
und die nicht normalen lauten
L^⟨(1 2)⟩ = Q( (ζ_3)^2 * ³√2), L^⟨(1 3)⟩ = Q( ζ_3 * ³√2), L^⟨(2 3)⟩ = Q( ³√2)
Mein Frage lautet nun:
Wie kommt man darauf das das L^{1} = L und das L^⟨(1 2 3)⟩ = Q(ζ_3) und so weiter ... bis L^⟨(2 3)⟩ = Q( ³√2). Leider vergessen warum/wie das nochmal geht...
