Gleichung nach z auflösen

Question

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\-3 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} -2\\1\\z \end{pmatrix} \)

die beiden vektoren sollen einen 45° winkel einschließen.

Problem/Ansatz:

also ich habe wie immer a*b/|a|*|b| gerechnet

a-b= -4-3z

|a|= \( \sqrt{14} \)

|b|= \( \sqrt{5+z^2} \)

45°=arccos \( \frac{-4-3z}{\sqrt{14}*\sqrt{5+z^2}} \)

ich weiß, dass ich z nun isolieren muss aber weiß nicht wie

Answer 1

COS(45°) = ([1, -2, -3]·[-2, 1, z]) / (ABS([1, -2, -3])·ABS([-2, 1, z]))

√2/2 = (- 3·z - 4) / (√14·√(z^2 + 5))

√2·√14·√(z^2 + 5) = 2·(- 3·z - 4)

√28·√(z^2 + 5) = - 6·z - 8

28·(z^2 + 5) = 36·z^2 + 96·z + 64

28·z^2 + 140 = 36·z^2 + 96·z + 64

36·z^2 + 96·z + 64 - (28·z^2 + 140) = 0

8·z^2 + 96·z - 76 = 0

z^2 + 12·z - 19/2 = 0

z = - √182/2 - 6 = -12.7454 (∨ z = √182/2 - 6)