Funktionen 3. Grades bestimmen mit vorgegebenen Nullstellen

Question

Aufgabe:

Ich habe 3 Nullstellen vorgegeben und soll mögliche Funktionen 3. Grades angeben. Wie geht das?

Problem/Ansatz:

Nullstellen

x₁ = 4

x₂= -2

x₃=7

Leider habe ich selbst keine Idee für den Ansatz das zu lösen.

Vielen Dank!

Answer 1

f(x) = a·(x - 4)·(x + 2)·(x - 7)

Ersetze dann den Streckfaktor a durch beliebige Zahlen ungleich 0.

~plot~ 0.1(x-4)(x+2)(x-7);0.2(x-4)(x+2)(x-7);0.3(x-4)(x+2)(x-7);0.4(x-4)(x+2)(x-7);0.5(x-4)(x+2)(x-7);[[-3|8|-10|30]] ~plot~

Comments

Danke! Ich verstehe den Ansatz. Muss ich jedoch als Lösung nicht irgendwas mit x³... schreiben, damit die Lösung ausreichend beantwortet wird?

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Nein. Die gegebene Funktionsgleichung liegt in der faktorisierten Form, also in Linearfaktoren vor. Man könnte sie auch ausmultiplizieren und damit in die allgemeine Form bringen.

f(x) = a·(x - 4)·(x + 2)·(x - 7)
f(x) = a·(x^2 - 2·x - 8)·(x - 7)
f(x) = a·(x^3 - 9·x^2 + 6·x + 56)

Answer 2

Ist dir klar, dass f(x)=(x-4)(x+2)(x-7) auch die geforderten Nullstellen hat?

Comments

Stimmt! Daran habe ich nicht gedacht, es so aufzuschreiben. Reicht das den Lehrern als Antwort? Muss ich das nicht ausrechnen, da ja als Lösung eine Funktionsgleichung mit x³.... usw. aufgeschrieben werden soll. Müsste ich dann jede Klammer mit jeder klammer multiplizieren? Danke!!

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Erstens: Es IST eine Funktion dritten Grades, auch in dieser Darstellung. Du darfst sie natürlich trotzdem ausmultiplizieren.

Zweitens: Gefragt war nach Funktionen (Plural).

f(x)=2(x-4)(x+2)(x-7) ist auch eine solche Funktion.

Answer 3

Es gilt:

f(x)= a*(x-x1)(x-x2)(x-x3)

Für a kannst du willkürliche Zahlen nehmen, weil es keine Zusatzbedingung gibt.