Zeigen Sie, dass das Polynom f(x) = x^5 −5 in Q(ζ_5)[x] irreduzibel ist.

Question

Zeigen Sie, dass das Polynom f(x) = x^5 −5 sowohl in Q[x] als auch in Q(ζ_5)[x] irreduzibel ist.
Kann mir das einer für Q(ζ_5)[x] zeigen? Muss ich hier verwenden das [Q(ζ_5) : Q] = 4 ?

Comments

Kann mir hier einer helfen?

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Sei im folgenden K=Q und F=Q(ζ_5)

Warum es über K irreduzibel ist, sollte klar sein, da kann man ein Standardkriterium verwenden.

Zeige nun:

Ist z eine Nullstelle von f in einem algebraischen Abschluss. Dann gilt einerseits

4 | [F(z) : K]

Tipp:

[Q(ζ_5) : Q] = 4

5 | [F(z) : K]

und

[F(z) : K] ≤ 20.

Folgere, dass [F(z) : F] = 5, insbesondere muss f irreduzibel über F sein.