Lösen von Komplexen Gleichungen

Question

Aufgabe:

$$\text{Bestimme alle z} \in \mathbb{C} mit\\ \frac{1}{z}+ \bar{z}=2 \ und \ |z|=2 \\ Re(z^2)=-(Im(z))^2 \\ z^2+\bar{z}=i-Im(z)^2$$

Problem/Ansatz:

Habt ihr Tipps zum lösen solcher Gleichungen? Normalerweise gehe ich immer über den Weg, "z=a+bi" für jedes vorkommende z einzusetzen und dementsprechend umzustellen. Bei diesen Gleichungen bin ich mir aufgrund der einzelnen i oder Re(z) unsicher wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Aloha :)

In der Regel ist es bei solchen Aufgaben ein guter Ansatz, die komplexe Zahl $z\in\mathbb C$ in Real- und Imaginärtiel aufzuteilen $(z=x+iy)$ mit $x;y\in\mathbb R$ und die Bedinungen damit neu zu formulieren.

$$2\stackrel!=\frac{1}{z}+\overline z=\frac{1}{x+iy}+(x-iy)=\frac{1}{x+iy}+\frac{(x-iy)(x+iy)}{x+iy}=\frac{1+\pink{x^2+y^2}}{x+iy}$$$$2=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\implies \pink{x^2+y^2=4}$$Wir setzen die zweite Gleichung in die erste Gleichung ein:$$2=\frac{1+4}{x+iy}=\frac{5}{x+iy}\implies x+iy=\frac52\implies x=\frac52\;\land\;y=0$$

Die erhaltenen Werte aus der ersten Gleichung $x=\frac52$ und $y=0$ stehen im Widerspruch zu der Forderung $x^2+y^2=4$. Es gibt also kein Paar $(x;y)$, das beide Forderungen erfüllt.

Beide Gleichungen haben keine gemeinsame Lösung.

$$\operatorname{Re}(z^2)=-(\operatorname{Im}(z))^2\implies\operatorname{Re}((x+iy)^2)=-(\operatorname{Im}(x+iy))^2\implies$$$$\operatorname{Re}(x^2+2ixy+i^2y^2)=-(y)^2\implies x^2-y^2=-y^2\implies x^2=0\implies x=0$$Die Lösung besteht aus allen rein imaginären Zahlen: $z=i\,\mathbb R$,

$$z^2-\overline z=i-\operatorname{Im}(z)^2\implies(x+iy)^2-(x-iy)=i-\operatorname{Im(x+iy)}^2\implies$$$$x^2+2ixy\pink{+i^2y^2}-x+iy=i\pink{-y^2}\implies(x^2-x)+i(2xy+y)=i\implies$$$$x(x-1)+i\,y(2x+1)=i$$Der Realteil $x(x-1)$ muss verschwinden, d.h. $x=0\,\lor\,x=1$.

Der Imaginärteil $y(2x+1)$ muss gleich $1$ sein.

Für $x=0$ leistet das $y=1$ und für $x=1$ leistet das $y=\frac13$.

Wir erhalten also zwei Lösungen: $z=i$ und $z=1+i\,\frac13$.

Comments

Hast Du bei der ersten Aufgabe mal die Probe gemacht?

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Danke dir Mathhilf, das habe ich glatt übersehen.

Ich habe ergänzt, dass es keine Lösung gibt.

Answer 2

Wo ist denn dann das Problem? Kannst du $z^2$ berechnen? Und $\overline{z}$? Wie du den Realteil und den Imaginärteil berechnest, weißt du hoffentlich auch. Fang damit mal an. Tipp zur ersten: erweitere den Bruch mit dem komplex konjugierten, um die komplexe Zahl aus dem Nenner zu bekommen und beachte $z \overline{z} = |z|^2$.

Answer 3

Hallo

ausser der ersten, die ich mit z multiplizieren würde und z*z^_=|z|² ist der Ansatz nur x+iy wohl immer vernünftig ,

bei 2. etwa x²-y²=-y²

Im(z)² ist was? Im(z²) oder (Im(z))² in 3.

lul