Ortskurve der Funktion

Question

Aufgabe:

Übung 3 Scharuntersuchung

Gegeben ist die Kurvenschar \(f (x) = e^x-axe^x, \quad a \gt 0\)  f (x) = e^x-axe^x, a > 0.

a) Führen Sie eine Kurvendiskussion von f, durch (Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wende- punkte, Verhalten für x±∞).

b) Zeichnen Sie die Graphen von \(f_{1}(-3\le x \le1,5)\) und von \(f_{0}(-3\le x\le2,5)\) in ein System.

b) Zeichnen Sie die Graphen von f_{1}(-3\le x\le1,5) und von f_{0\le}(-3\le x\le2.5) in ein System.

c) Welche Scharfunktion f, hat einen Wendepunkt an der Stelle c~x=3

d) Welche Scharfunktion schneidet die y-Achse unter einem Winkel von 30°?

e) Bestimmen Sie die Wertemenge von f₁.

f) Zeigen Sie, dass \(y(x)=\frac{e^x}{x+1}\) y(x)=e^x/x+1 die Ortskurve der Extrema von f ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe f bitte. Mir ist klar, dass ich die Ortskurve berechnen müsste, das kriege ich aber überhaupt nicht hin. Ich weiß, dass der Hochpunkt \(\left(\frac{1-a}a |\, ae^{(1-a)/a}\right)\)  (1-a/a   / ae^1-a/a)

Comments

Tut mir leid, war Grad selber etwas verwirrt. Ich meinte eigtl ob mir jemand bei der lösung der Aufgabe f, also der mit der Ortskurve helfen kannst weil ich dort nie auf das Ergebnis komme. Alles was ich raus habe ergibt keinen Sinn.

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Mir ist klar, dass ich die Ortskurve berechnen müsste

Das ist bei f) gefragt.

Nicht mal das ist gefragt. Die Ortskurve ist schon vorgegeben. Man muss nur mit einer Probe nachweisen, dass die schon vorher schon zu berechnenden Extrempunkte draufliegen.

Aber selbst das wird nicht gelingen, weil e^x-ae^x keine Extrempunkte hat.

Es wäre hilfreich, wenn die Fragestellerin den Funktionsterm korrekt wiedergibt.

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Es tut mir wirklich leid. Ich komme mit dem Handy und Funktionen eintippen nicht klar. Die Umstände die ich mache tun mir echt leid. Es sollte jetzt alles korrekt sein.

Wie wäre den diese Probe? Meine einzige Idee wäre gewesen, einfach die Ortskurve selber auszurechnen.

Vielen Dank

Answer 1

Ich weiß, dass der Hochpunkt \( ( \frac{1-a}{a}  / ae^{\frac{1-a}{a}}) \)  ist.

Dann setze doch \( x = \frac{1-a}{a} \) in die Gleichung der

Ortskurve ein, also in \( y(x)=\frac{e^x}{x+1} \)

Das gibt \( y(\frac{1-a}{a} )=\frac{e^{\frac{1-a}{a} }}{\frac{1-a}{a} +1}=\frac{e^{\frac{1-a}{a} }}{\frac{1}{a} -1 +1}=\frac{e^{\frac{1-a}{a} }}{\frac{1}{a}}= ae^{\frac{1-a}{a}} \)

Und das passt ja in der Tat.

Comments

Vielen Dank, darauf bin ich ja gar nicht gekommen.

Nur so aus Übungszwecken, könntest du mir zeigen, wie ich auf die Ortskurve komme, wenn sie nicht gegeben wäre, also so wie ich dachte, wie man es machen muss?

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/1063297/ortskurve-der-extrema-uberprufen?show=1063299#a1063299

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Vielen dank, das hat mir sehr geholfen

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Mir ist klar, dass ich die Ortskurve berechnen müsste, das kriege ich aber überhaupt nicht hin.

Du musst sie nicht berechnen. Es reicht die Probe, Das Extremum \(x_e\) hast Du bereits berechnet$$x_e = \frac{1-a}{a}$$Setze dies sowohl in \(f(x)\) als auch in \(y(x)\) ein. Wenn in beiden Fällen der selbe Ausdruck heraus kommt, handelt es sich bei \(y(x)\) um die Ortskurve des Extremums.

Ansonsten berechnet man die Ortskurve, indem man \(x_e = \dots\) nach \(a\) umstellt und dies in die Originalfunktion \(f\) einsetzt:$$x_e = \frac{1-a}{a} \implies a = \frac{1}{1+x} \\ y(x)= e^x-\left(\frac{1}{1+x}\right)xe^x = \left(1-\frac{x}{1+x}\right)e^x \\ \phantom{y(x)} = \frac{e^x}{1+x}$$

Den roten Punkt auf der X-Achse kann man horizontal schieben.

Gruß Werner