Ableitung f = x*ln(x + e^x)^2

Question

Könnte mir jemand erklären was ich hier falsch mache?

In meiner Lösung steht: 2(ln(x+e^x) + (2x(1 + e^x)/(x + e^x))

Meine Lösung:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f & =x \cdot \ln \left(x+e^{x}\right)^{2} \\ y^{\prime} & =1 \cdot \ln \left(x+e^{x}\right)^{2}+2 x \ln \left(x+e^{x}\right) \cdot \frac{1}{x+e^{x}} \cdot e^{x} \\ & =\ln \left(x+e^{x}\right)^{2}+\ln \left(x+e^{x}\right) \frac{2 x e^{x}}{x+e^{x}}\end{aligned} \)

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Der Funktionsterm passt nicht zur Musterlösung. Funktionsklammern binden stärker als Exponenten, daher bezieht sich das Quadrat auf die Logarithmusfunktion, nicht auf das Argument:$$f(x)=x\cdot\ln(x+e^x)^2=x\cdot\left(\ln(x+e^x)\right)^2$$Wenn man diese Funktion ableitet, kommt man aber nicht auf die Musterlösung. Damit die Musterlösung passt, muss dein Leerer die folgende Funktion gemeint haben:$$f(x)=x\cdot\ln\left(({\color{blue}x+e^x})^{\pink2}\right)=\underbrace{\pink2x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln({\color{blue}x+e^x})}_{=v}$$

Die Ableitung funktioniert mit der Produktregel und der Kettenregel, die innere Funktion habe ich blau markiert:$$f'(x)=\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln({\color{blue}x+e^x})}_{=v}+\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\color{blue}x+e^x}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{({\color{blue}1+e^x})}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$f'(x)=2\ln(x+e^x)+2x\,\frac{1+e^x}{x+e^x}$$

Comments

Vielen Dank für die Arbeit! Jetzt ergibt es Sinn.

Answer 2

Du hast zwei Fehler gemacht - beide in der 2. Zeile

(1)

Du hast \(\ln(x+e^x)^2 \) wie \(\left(\ln(x+e^x)\right)^2\) behandelt. Es gilt aber

\(\ln(x+e^x)^2 = 2 \ln(x+e^x) \)

(2)

Die innere Ableitung \((x+e^x)' = 1+ e^x\) und nicht nur \(e^x\).

Comments

(1) halte ich nicht für einen Fehler, sondern es ist eine Frage der jeweils geltenden Konvention. Einige halten strikt an der Syntax-Konvention

Funktionsname(Argument)

Fest, andere lassen auch

Funktionsnsme Argument

Gelten, was besonders bei trigonometrischen Funktionen Tradition hat.

Für das Quadrieren gibt's dann auch noch die Schreibweise von GgT22

Daher würde ich empfehlen, jeweils nachzufragen, was gemeint ist.

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Die verwendete Konvention ergibt sich aus der Musterlösung.

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Das ist mir klar. Mein Hinweis gilt der Situation, wo eine Aufgabe ohne Lösung gestellt ist.

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wolfram liest es auch als ln^2(...)

https://www.wolframalpha.com/input?i=derive+ln%28x%2Be%5Ex%29%5E2

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Danke, ja bei den einschlägigen online Rechnern habe ich eben auch unterschiedliches rausbekommen, was mich zusätzlich verwirrt hat. Ich frage am besten nochmal nach wie wir das handhaben. Und xˋ = 0 war ohnehin ein grober Fehler.

Answer 3

https://www.ableitungsrechner.net/

Die Ableitung von ln^2(x+e^x) ist 2*ln(x+e^x)*(1+e^x)/(x+e^x)

Es gilt: f(x) = lng(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

Im Zähler muss es (1+e^x) lauten.

Die Ableitung von x+e^x ist (1+e^x)