\( f(x)=e^{0,25 x} \) \( x_{0}=\red {4} \)
\( f'(x)=e^{0,25 x} \cdot 0,25 \)
Steigung der Tangente:
\( f'(\red {4} )=e^{0,25 \cdot \red {4} } \cdot 0,25 =\green{0,25e} \)
Berührpunkt:
\( f(\red {4})=e^{0,25 \cdot \red {4}}=\blue{e} \)
\(B(\red {4}|\blue{e})\)
Tangentengleichung:
Allgemeine Punkt- Steigungsform der Geraden: \( \frac{y-y_1}{x-x_1}=m \)
\( \frac{y-\blue{e}}{x-\red {4}}=\green{0,25e} \)
\( y=t(x)=0,25e\cdot (x-4)+e \)
b) Funktionsgraph, y-Achse und Tangente schließen ein Flächenstück ein. Berechnen sie die Fläche.
Schnittpunkt von \( f(x)=e^{0,25 x} \) mit der y-Achse:
\( f(0)=1\) \(A(0|1)\)
Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse:
\(0,25e\cdot (x-4)+e=0 |:e \)
\(0,25\cdot (x-4)+1=0 \)
\(x=0 \)
\(A_1 \) ist die Fläche unter \( f(x)=e^{0,25 x} \) im Bereich \(0≤x ≤4\)
\(A_1=\int\limits_{0}^{4}e^{0,25 x}dx \)
Substitution
\(u=0,25x\) \( \frac{du}{dx}=0,25 \) \( dx=4du\)
Mit Anpassung der Grenzen ( Es entfällt dann die Rücksubstitution):
Untere Grenze \(x=0\)→\(u=0,25\cdot 0=0\)
Obere Grenze \(x=4\)→\(u=0,25\cdot 4=1\)
\(A_1=\int\limits_{0}^{1}e^{u}\cdot 4du =[4 e^{u}]_{0}^{1}=[4e]-[4 \cdot 1]=4e-4\)
\(A_2 \) ist die Fläche unter \( t(x)=0,25e\cdot (x-4)+e \) im Bereich \(0≤x ≤4\)
\(A_2 \) ist ein Dreieck mit \(A_2= \frac{1}{2}\cdot \red {4} \cdot \blue{e}=2e \)
Die gesuchte Fläche:
\(A_1-A_2=4e-4-2e=(2e-4) \)FE
