Extremwertaufgabe: Maximale Rechtecksfläche unter Böschung x² +3x +2

Question

Ich habe gerade mithilfe von Videos eine Extremwertaufgabe versucht.

Hier erstmal der Aufgabentext:

In einen Hang, dessen Begrenzung sich durch f (x) = x²+3x +2 ergibt, soll ein rechteckiger Schacht mit maximaler Querschnittsfläche eingebaut werden. Bestimmen Sie die Höhe und Breite des Schachtes.

Hier einmal die Skizze dazu:

Ich habe mal angefangen die Zeilfunktion zu bestimmen:
Z: A = a * b -> Fläche des Rechtecks.
a = x, b = f(x) folglich:
A(x) = x * f(x) -> x(x²+3x+2) -> x³ + 3x² + 2x

Erste Ableitung:
A ' (x) = 3x² + 6x + 2

In einem der Videos wurde mit X geteilt, jedoch war kein Term ohne x dabei deshalb denke ich mir ich benötige die PQ Formel:
also bekomme ich für x1 = -0,423 und x2 = - 1,577.
Sehe ich mir nun die Zeichnung an scheint x1 der korrekte Wert zu sein.

Doch wie kann ich dies nun Beweisen, welcher der beiden Werte der Richtige ist bzw. ob sogar beide richtig sein können?

 

Answer 1

also bekomme ich für x1 = -0,423 und x2 = - 1,577. 
Sehe ich mir nun die Zeichnung an scheint x1 der korrekte Wert zu sein.

Doch wie kann ich dies nun Beweisen, welcher der beiden Werte der Richtige ist bzw. ob sogar beide richtig sein können? 

Ein Verweis auf die Skizze genügt, um x2 = -1.577 auszuschliessen.

Setze vielleicht x1 = -0.423 noch in die 2. Ableitung ein, um nachzuweisen, dass du betragsmässig ein relatives Maximum in nicht ein Minimum hast. Ist aber an sich logisch, da x=0 und x=-1 ja die Fläche 0 geben. Ein einziges Extremum dazwischen ist bestimmt nicht nochmals 0. D.h. du bist eigentlich mit x1 = -0.423 fertig.

Schachtbreite 0.423 m

Nur noch die Höhe berechnen.

Comments

Ich habe es gerade selber errechnet :)

Breite = 0,423
Höhe = A(0,423) = 1,458

Vielen dank.

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Höhe:

h = (x²+3x+2)

x = -0.423 einsetzen

h = 0.423^2 - 3*0.423 + 2 = 0.9099 m

Fläche: Breite * Höhe = 0.382 m^2

Answer 2

A = x·(x^2 + 3·x + 2) = x^3 + 3·x^2 + 2·x

(Eigentlich sollte man hier besser -x mal nehmen weil sonst die Fläche negativ ist)

A' = 3·x^2 + 6·x + 2 = 0

x = -1.577350269 ∨ x = -0.4226497308

Du setzt es in die 2. Ableitung ein

A'' = 6·x + 6 = 6·(-0.4226497308) + 6 > 0 --> Tiefpunkt (Das wäre der Hochpunkt für den positiven Flächeninhalt)

Comments

Kann ich es Standardmäßig so sehen, das wenn in diesem Fall die Fläche ins Negative geht, ich grundsätzlich mit -x arbeiten kann?

Ich habe gerade getestet:

Setze ich bei A(-0,423) ein, so erhalte ich -0,385 was ja sichtlich falsch ist.

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Ja. Wenn du für x = -0.4 einsetzt hast du ja eine Breite von 0.4 also von -x.

Answer 3

  in der Kürze liegt die Würze.

  x = -1.577 entfällt als Lösung da nur der Bereich -1 < x < 0  in
Frage kommt.

  mfg Georg