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Aufgabe:


Problem/Ansatz: Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe C wie mache ich das?

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Aufgabe 3(14=3+5+6 3(14=3+5+6 Punkte ) ) :
Sei ARn×n A \in \mathbb{R}^{n \times n} nilpotent, d.h. es gibt kN k \in \mathbb{N} mit Ak=0 A^{k}=0 .
(a) Bestimmen Sie det(A) \operatorname{det}(A) .
(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A A .
(c) Zeigen Sie: Ist A0Rn×n A \neq 0 \in \mathbb{R}^{n \times n} , so ist A A nicht diagonalisierbar.

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3 Antworten

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Geht auch einfacher: da 0 einziger Eigenwert von A A ist, muss die Diagonalmatrix (wenn es sie gäbe) die Nullmatrix sein. Daraus folgt aber unmittelbar A=0 A =0 . Es soll aber A0 A \neq 0 sein.

Avatar von 21 k

Stimmt. Das ist noch einfacher :-) (+1)

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Teil (b) hast du ja schon und weißt, dass alle Eigenwerte von AA gleich 0 sind.

Damit ist AA diagonalisierbar genau dann, wenn der Eigenraum Eig(A,0)Eig(A,0) zu λ=0\lambda = 0 die Dimension nn hat, wenn also eine Basis von Eigenvektoren gefunden werden kann.

Nun gilt aber

Eig(A,0)=N(A)={xRnAx=0}Eig(A,0) = N(A) = \{x\in \mathbb R^n\:|\: Ax = 0\}

Da A0A \neq 0 gilt dimR(A)>0\dim R(A) > 0 und die Dimensionsformel liefert:

dimR(A)>0+dimN(A)=ndimN(A)=ndimR(A)<n \underbrace{\dim R(A) }_{>0} + \dim N(A) = n \Rightarrow \boxed{\dim N(A) = n - \dim R(A) < n}.

Damit ist dimEig(A,0)<n\dim Eig(A,0) < n und kann somit auch keine Basis von Eigenvektoren enthalten. Also ist AA nicht diagonalisierbar.

Avatar von 12 k
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Die Determinante einer nilpotenten Matrix ist 0, denn det(A**n) = det(A)**n.

Alle Eigenwerte einer nilpotenten Matrix sind 0: Sei z ein Eigenwert und v ein zugehöriger Eigenvektor, also A*v = z*v, dann ist A**n * v =  z** * v = 0*v, aber v != 0, also z = 0.

Wenn A diagonalisierbar wäre, so wäre es ähnlich zur Nullmatrix.

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