Bestimmen Sie eine Lösung der Anfangswertaufgabe

Question

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie eine Lösung der Anfangswertaufgabe
\( u^{\prime}(t)=\cos (t) \cdot u(t)+t e^{\sin (t)}, \quad u(0)=5 . \)

Problem

Leider weiß ich nicht wie ich die DGL lösen soll

Answer 1

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten

1) u'(t) -cos(t) u(t) = t e^(sin(t)

2) u'(t) -cos(t) u(t) = 0

3) u_h(t) via Trennung der Variablen berechnen

u_h(t)= C₁ e^(sin(t)

4) Setze C₁ = C(t)

up = C(t) e^(sin(t)

up'=

5)up und up' in die DGL einsetzen

6)C(t)  berechnen

7) u(t)=uh+up

8)AWB in die Lösung einsetzen

\( u(t)=\frac{1}{2}\left(t^{2}+10\right) e^{\sin (t)} \)