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Die Höhe der Rutsche wird durch folgende Funktion beschrieben:$$f(x)=2e^{\frac18x-\frac95}+2e^{-\frac18x+\frac95}-3\quad;\quad x\in[0;20]$$Darin versteckt sich eine Cosinus-hyperbolicus-Funktion$$f(x)=4\cosh\left(\frac18x-\frac95\right)-3\quad;\quad x\in[0;20]$$
Die Ableitung von \(\cosh(x)\) ist \(\sinh(x)\) und die Ableitung von \(\sinh(x)\) ist \(\cosh(x)\). Das ist einfacher ale bei den trigonometrischen Funktionen, weil man keine Minuszeichen beachten muss. Daher können wir die ersten beiden Ableitungen (unter Beachtung der Kettenregel) sofort hinschreiben:$$\pink{f'(x)=}4\sinh\left(\frac18x-\frac95\right)\cdot\frac18=\pink{\frac12\sinh\left(\frac18x-\frac95\right)}$$$$\pink{f''(x)=}\frac12\cosh\left(\frac18x-\frac95\right)\cdot\frac18=\frac{1}{16}\cosh\left(\frac18x-\frac95\right)=\pink{\frac{f(x)+3}{64}}$$
zu 1) Wir lassen uns die Funtion plotten:
~plot~ 4*cosh(1/8*x-9/5)-3 ; x=20 ; [[0|22|0|10,5]] ~plot~
Man erkennt, dass der Startpunkt der Rutsche in etwa auf der Höhe \(9,5\,\mathrm m\) liegt. Genauer liegt er bei \(f(0)\approx9,43\,\mathrm m\).
zu 2) Der tiefste Punkt der Rutsche ist ein lokales Minimum. Kandidaten für lokale Extrema finden wir bei den Nullstellen der ersten Ableitung. Die Sin-hyperbolicus-Funktion hat nur eine Nullselle, wenn ihr Argument gleich Null ist. Daher ist der einzige Kandidat für ein Extremum bei \(x_0=\frac{72}{5}=14,4\).
Wegen \(f(x_0)=f(14,4)=1\) ist die zweite Ableitung$$f''(x_0)=f''(14,4)=\frac{f(14,4)+3}{64}=\frac{1}{16}>0$$an dieser Stelle \(x_0\) positiv, sodass es sich tatsächlich um ein Minumum handelt
Der tiefste Punkt der Rutsche liegt also bei\(\quad\pink{\text{Min}\left(14,4|1\right)}\)
zu 3) Die Steigung \(m\) und der Steigungswinkel \(\alpha\) sind miteinander verknüpft über$$\tan\alpha =m$$Die durchschnittliche Steigung der Funktion zwischen dem Startpunkt und Mimium beträgt:$$m=\frac{f(14,4)-f(0)}{14,4-0}\approx\frac{1-9,43}{14,4}=-0,5854$$Das entspricht einem durchschnittlichen Steigungswinkel von$$\alpha=\arctan(m)\approx-30,35^\circ$$Negative Steigung bedeutet Gefälle ;)
zu 4) Hier ist eine kleine Falle versteckt. Konkret steckt sie in der Formulierung "unter Beachtung des Funktionsgraphen". Den stärksten Anstieg oder das stärkste Gefälle hat eine Funktion in ihren Wendepunkten. Die zweite Ableitung der Funktion hat jedoch keine Nullstelle, weil die Cosinus-hyperbolicus-Funktion keine Nullstelle hat. Die Funktion hat also keine Wendepunkte. Daher muss der Punkt mit dem stärksten Gefälle einer der Randpunte sein. Aus der Abbildung erkennst du, dass es der Startpunkt ist.
Für die Steigung am Startpunkt gilt:$$m=f'(0)=\frac12\sinh\left(-\frac95\right)\approx-1,4711$$Das entspricht einer Steigung / Gefälle von:$$\alpha_{\text{max}}=\arctan(-1,4711)\approx-55,79^\circ\quad\checkmark$$
