Sei ϕ ein Endomorphismus von Cn mit genau einem Eigenwert λ.

Question

Aufgabe:

Sei ϕ ein Endomorphismus von C^n mit genau einem Eigenwert λ. Bestimmen Sie den
Hauptraum Hλ.

Problem/Ansatz:

Ist das dann nicht einfach der C^n oder wie soll man die Aufgabe lösen`?

b)  Finden Sie einen nicht diagonalisierbaren Endomorphismus ψ von C^3, sodass 1 und 2
Eigenwerte von ψ sind. Begründen Sie Ihre Antwort.

1	0	0
0	2	1
0	0	2

kann man leicht ausrechnen.

Answer 1

Deine Beobachtung ist richtig.

Da \(\phi\) nur den Eigenwert \(\lambda\) hat, weißt du per Cayley-Hamilton, dass

\((\phi - \lambda id)^k = o\) für ein \(k \leq n\).

Für den Hauptraum gilt

\(H(\lambda) = \{x\in \mathbb C^n\:| \:(\phi - \lambda id)^k= 0 \text{ für ein } k\in \mathbb N \}\)

Daher ist \(H(\lambda) = \mathbb C^n\).