Aufgabe:
Im Vektorraum \( V=\mathbb{Q}^{4} \) seien zwei Unterräume
\( U=\langle(1,1,0,2),(2,1,1,0)\rangle \quad \text { und } \quad W=\langle(0,2,-1,1),(3,0,2,1)\rangle \)
gegeben.
(a) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \cap W \).
(b) Bestimmen Sie eine Basis des Summenraums \( U+W \).
(c) Ist die Summe von \( U \) und \( W \) eine direkte Summe (mit kurzer Begründung)?
(d) Was ist die Dimension des Quotientenraums \( (U+W) /(U \cap W) \) ? Geben Sie eine Basis von \( (U+W) /(U \cap W) \) an.
Problem/Ansatz:
Ich würde gerne wissen ob meine Ergebnisse richtig sind:
Für U+W habe ich drei Vektoren: (1,0,0,5);(0,1,0,-3);(0,0,1,-7).
Im Schnitt habe ich: (-3,-2,-1,-2)
Gerechnet habe ich über den Zassenhaus Algorithmus.
Bei c) würde ich sagen dass es keine direkte Summe ist weil der Schnitt von U ∩ W ≠ {0} ist.
Bei d) ist über dim(W/U) = dim(W) - dim(U) => 2-2=0 und damit existiert keine Base.
