Untervektoraufgabe Basen Bestimmung

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum $V=\mathbb{Q}^{4}$ seien zwei Unterräume
$U=\langle(1,1,0,2),(2,1,1,0)\rangle \quad \text { und } \quad W=\langle(0,2,-1,1),(3,0,2,1)\rangle$
gegeben.
(a) Bestimmen Sie eine Basis von $U \cap W$.
(b) Bestimmen Sie eine Basis des Summenraums $U+W$.
(c) Ist die Summe von $U$ und $W$ eine direkte Summe (mit kurzer Begründung)?
(d) Was ist die Dimension des Quotientenraums $(U+W) /(U \cap W)$ ? Geben Sie eine Basis von $(U+W) /(U \cap W)$ an.

Problem/Ansatz:

Ich würde gerne wissen ob meine Ergebnisse richtig sind:

Für U+W habe ich drei Vektoren: (1,0,0,5);(0,1,0,-3);(0,0,1,-7).

Im Schnitt habe ich: (-3,-2,-1,-2)

Gerechnet habe ich über den Zassenhaus Algorithmus.

Bei c) würde ich sagen dass es keine direkte Summe ist weil der Schnitt von U ∩ W ≠ {0} ist.

Bei d) ist über dim(W/U) = dim(W) - dim(U) => 2-2=0 und damit existiert keine Base.

Answer 1

Hallo

a) und b hab ich nicht nachgerechnet,  sieht aber gut aus aber in d) hast du dich nicht dim/(W/U)= sondern dim(W+U)/(W∩U)

c ist richtig

lul

Comments

Dann wäre das bei d) doch 3 - 1 = 2