Gibt es einen Trick bei dieser Matrix das CP zu berechnen oder zumindest die Signatur?

Question

Aufgabe:

Gibt es einen Trick bei dieser matrix das CP zu berechnen oder zumindest die Signatur?

Problem/Ansatz:

3	-2	0
-2	2	-2
0	-2	1

Die Musterlösung macht tatsächlich keinen Trick sondern rechnet hart das CP aus mit Polynom Division, aber das ist etwas umständlich. Gibt es da keine andere Tricks? Immerhin ist es ja symmetrisch.

Comments

Ich vermute du willst eigentlich die Eigenwerte bestimmen und hast dazu den Ansatz gewählt, die Nullstellen des CP zu berechnen.

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Gibt es denn andere Methoden?

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Andere Methoden für was?

Du sagst du willst das CP berechnen.

Ich sage du willst die Eigenwerte berechnen.

Wer von uns hat jetzt recht?

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Du hast recht, die Nullstellen des CP sind die Eigenwerte. Ich habe mich zu ungenau ausgedrückt.

Aber die Berechnung der Nullstellen ist meiner Meinung nach ziemlich kompliziert. Meine Frage war, ob es da Vereinfachungen gibt.

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Ich finde Polynomdivision recht einfach. Man ist natürlich darauf angewiesen, eine Nullstelle zu raten. Aber mit dem Satz über rationale Nullstellen weiß man recht genau, wo es sich zu raten lohnt.

Kommt man damit nicht weiter, dann helfen zumindest bei 3×3-Matrizen die Cardanischen Formeln.

Die Symmetrie der Matrix stellt sicher, dass alle Eigenwerte reell sind. Darüber hinaus ist mir nichts bekannt, was dir die Berechnung der Eigenwerte erleichtern würde. Insbesondere kenne ich keinen Weg, der um die Aufstellung des CP herumführt.

Answer 1

Anstatt bei so kleinen Matrizen nach Tricks zu suchen, wäre man schon längst mit rechnen fertig.

Aufgrund der Symmetrie sind alle Eigenwerte reell.

Die Koeffizienten des CP sind ganzzahlig, weshalb die Wahrscheinlichkeit groß ist, dass es die Nullstellen auch sind.

Man kann die Eigenwerte mit Hilfe der Gerschgorin-Kreise abschätzen. Einer liegt im Intervall [1; 5], einer im Intervall [0; 4] und einer im Intervall [-1; 3]. Die Gerschgorin-Kreise werden für gewöhnlich in einer Numerik-Vorlesung eingeführt. Betrachtet man jetzt noch den Satz über rationale Nullstellen, dann bleibt für das Raten von Nullstellen gar nicht mehr so viel übrig.

Als Alternative für die Polynomdivision bietet sich hier das Horner-Schema an.