Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen der Graph der Funktion \(f(x)=(x^2 −4x+3)∗(x+2)\) mit \((x∈R)\) Tangenten besitzt, die parallel zur Geraden g mit der Gleichung \(y= −x + 6\) mit \((x∈R)\) verlaufen.
\(f(x)=(x^2 −4x+3) \cdot (x+2)\)
Produktregel \((F_1\cdot F_2)'=F'_1\cdot F_2+F_1 \cdot F'_2)\)
\(f'(x)=(2x −4)\cdot(x+2)+(x^2 −4x+3)\cdot1\)
Die Gerade \(y= \red{−1}x + 6\) hat die Steigung \( \red{−1}\)
\( \red{−1}=(2x −4)\cdot(x+2)+(x^2 −4x+3)\)
\(2x^2+4x-4x-8+x^2 −4x+3= \red{−1}\)
\(3x^2−4x=4|:3\)
\(x^2−\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}\)
\(x^2−\frac{4}{3}x+(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{3}+(\frac{2}{3})^2\)
\((x−\frac{2}{3})^2=\frac{12}{9}+\frac{4}{9}=\frac{16}{9} |±\sqrt{~~}\)
1.)
\(x−\frac{2}{3}=\frac{4}{3} \)
\(x_1=2 \) \(f(2)=(2^2 −4 \cdot 2+3) \cdot (2+2)=...\)
2.)
\(x−\frac{2}{3}=-\frac{4}{3} \)
\(x_2=-\frac{2}{3} \) \(f(-\frac{2}{3})=...\)
