Grenzwert von bekannter Folge bestimmen

Question

Man soll zeigen, dass der Grenzwert von der Folge \( \sqrt[n]{n} \) =1 ist. Mir ist bewusst, dass es viele ausführliche Beweise hierzu gibt, aber reicht es nicht einfach aus, wenn man sagt: \( \sqrt[n]{n} \) = n^(1/n). Da 1/n eine Nullfolge ist ergibt sich n^0 = 1

Comments

Warst du schon hier?

https://www.youtube.com/results?search_query=n-te+Wurzel+aus+n+konvergiert+gegen+1+-+Beweis+

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Ist denn die Frage in einem dieser Videos beantwortet? Hast Du das geprüft? Ich sehe das auf den ersten Blick nicht.

Answer 1

Du kannst nicht in einem Term, in dem n "mehrfach" vorkommt, ein n gegen 0 gehen lassen und dann das andere.

Einfaches Gegenbeispiel: \(a_n:=n\cdot \frac{1}{n}\). Der 2. Faktor geht gegen 0, \(n \cdot 0=0\), also ist der Grenzwert 0.

Comments

Würde weiterhelfen:

n^(1/n) = e^(1/n*lnn)  und die Ableitung Null setzen ???

(spontane Idee)

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Warum willst du die Ableitung 0 setzen? Wir suchen keine Extremstelle.

Ganz abgesehen davon, dass es sich um eine Zahlenfolge mit isolierten Einzelwerten handelt, da macht ableiten wenig sinn.

Answer 2

Man kann nicht in einer Folge, wo zweimal n vorkommt, die Grenzwerte getrennt betrachten. Wenn das ginge, wäre ja auch \(\lim (1+\frac1n)^n=\lim 1^n = 1\). Ist es aber nicht (sondern \(=e\), wie Du sicher weißt).