Bestimme den Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Wahrscheinlichkeit: In einem Beutel mit Spielgeldscheinen haben zehn den Aufdruck 10€ und fünf den Aufruck 20 €. Es wird ein Schein gezogen und NICHT zurückgelegt. Dies geschieht so oft bis ma eine Summe von exakt 30€ oder überschritten hat.

a.) Vervollständige das Baumdiagramm.

b.) Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Geldscheinentnahmen an. Bestimme den Erwartungswert.

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsansatz war folgender. Kann dies sein ?

Zu a. bekam ich folgende Wahrscheinlichkeit rauß nach zeichnen des Baumdiagramms.

90/210 für 20 Euro

50/210 für 30 Euro

50/210 für 30 Euro

20/210 für 40 Euro

für b.) E(x) = 30€*50/21 + 30³50/21 + 40€*20/21 = 18,10 Euro

Bei b.) bin ich mir aber nicht sicher.

Grüße

Philipp

Answer 1

Wahrscheinlichkeit: In einem Beutel mit Spielgeldscheinen haben zehn den Aufdruck 10€ und fünf den Aufruck 20€. Es wird ein Schein gezogen und NICHT zurückgelegt. Dies geschieht so oft bis man eine Summe von exakt 30€ oder überschritten hat.

P(X = 2) = P((10, 20), (20, 10), (20, 20)) = 2·10/15·5/14 + 5/15·4/14 = 4/7

P(X = 3) = P((10, 10, 10), (10, 10, 20)) = 10/15·9/14·8/13 + 10/15·9/14·5/13 = 3/7

E(X) = 2·4/7 + 3·3/7 = 17/7 = 2.429

Comments

Nachdem ich den kopletten Verzeichnissbaum mir aufgezeichnet habe ist mir das klar geworden.

Da gab es dazu noch ne Aufgabe b.)

Benötigt man nur zwei Geldscheinentnahmen werden 7€ ausbezahlt sonst nichts. Ermittle einen Einsatz so dass das Spiel fair ist.

Ich habe da 4 Euro raußbekommen.(siehe Skizze. Sorry für die Qualität)

Text erkannt:

-
\( \begin{array}{l} F(x)= \frac{4}{7} \cdot(7-e)+\frac{3}{7} \cdot(-e)=0 \\ = \frac{28}{7}-\frac{4}{7} e-\frac{3}{7} e=0 \\ = \frac{28}{7}-\frac{7}{7} e=0 \\ = 4-e=0 \quad 1+4 \\ -e=-4 \quad 1 \cdot(-1) \\ e=4 \end{array} \)

---

Völlig richtig. Von der Rechnung ist folgendes aber viel einfacher:

Erwartungswert der Auszahlung A
E(A) = 7·4/7 = 4 €

Langfristig bekommt man also pro Spiel 4 € ausgezahlt und muss entsprechend auch einen Einsatz von 4 Euro einsetzen, damit das Spiel fair ist.

---

OK......so kann man es auch lösen.

Ich bin mehr der Freund von Tabellen. Ist für mich irgendwie verständlicher.

Dieses Thema wird nie mein Freund werden.

Vielen Dank nochmals

Answer 2

90/210 für 20 Euro

Die Wahrscheinlichkeit, dass man nach Durchführung des Experiments insgesamt 20 Euro gezogen hat, beträgt 0, weil:

        Dies geschieht so oft bis ma eine Summe
        von exakt 30€ oder überschritten hat.

für b.) E(x) = 30€*50/21 + 30³50/21 + 40€*20/21 = 18,10 Euro

Der Antwortsatz lautet also:

        Der Erwartungswert für die Anzahl der
        Geldscheinentnahmen ist 18,10 Euro.

Das ergibt irgendwie keinen Sinn.

Stattdessen:

        \(E(X) = 2\cdot P(X=2) + 3\cdot P(X=3)\)

weil man mindestens 2 und höchstens 3 Geldscheinentnahmen benötigt um mindestens 30 Euro entnommen zu haben.

Comments

Hallo,

Kann ich hier eine Skizze mit dem Baumdigramm einfügen von mir erstellt.

---

Ja, das kannst du.

---

Text erkannt:

(6)
\begin{tabular}{c|c|c}
Anraxl \( \left(x_{i}\right) \) & 1 & 2 \\
\hline\( p\left(x=x_{i}\right) \) & \( \frac{90}{210}=\frac{3}{7} \) & \( \frac{120}{210}=\frac{4}{7} \)
\end{tabular}
\( E(x)=30 \text { Earo } \cdot \frac{50}{210}+30 \tan \cdot \frac{50}{210}+\frac{20}{210} \cdot 40 \text { Earo } \)
\( \approx 18,10 \) turo

---

Das Baumdiagramm ist soweit richtig, aber noch nicht vollständig.

Der Pfad, auf dem beide Scheine 10 Euro sind, benötigt noch eine dritte Ebene, weil dort ja bis jetzt weniger als 30 Euro gezogen wurden.

Answer 3

30 = 10+10+10 = E1

30 = 20+10= E2

30= 10+20 = E3

>30: 20+20 = E4

P(E1) = 10/15*9/14*8/13

P(E2)= 5/15*10/14

P(E3)= 10/15*5/14

P(E4) = 5/15*4/14

EW: 3*P1+2*P2 +2*P3+ 2*P4 =

Comments

@ggT22. Müsste die Summe von P1,P2,P3,P4  nicht 1 ergeben ?

---

Nein, es geht um den Erwartungswert, der kann alle möglichen Werte annehmen.

100 mal würfeln, EW der Sechsen = 100*1/6 = 16,67

---

Kann es sein das eine Wahrscheinlichkeit fehlt:

z.B. 10/15 * 9/14 * 5/13    das würde nach 3 mal ziehen ja auch 40 ergeben.Alos >30

Dann würde es 5 Möglichkeiten geben

---

Ja, 10-10-20 habe ich vergessen.

---

30 = 10+10+10 = P1

Laut dieser Rechnung ist P1 = 30.

P1 = 10/15*9/14*8/13

Laut dieser Rechnung ist P1 = 24/91

Es ist 30  ≠ 24/91.

Bitte entscheide dich, ob P1=30 oder P1=24/91 ist.

---

Ich habe geändert. Ja , es war unglücklich gewählt.