Analysis Aufgabe I.1

Question

Aufgabe:

Sei feine lineare Funktion mit f(x) = 1/2x + a; aER und die quadratische Funktion F sein eine Stammfunktion von f.
von f.

a)  Begründen Sie, dass x = —2a die Extremstelle von F ist.  
b)  Bestimmen Sie die Stammfunktion G von f, deren Scheitelpunkt (-4I0) ist.  

Problem/Ansatz

F (x) = x^2 + ax

Aus diesem Grund kann ich f(x) = f´(x) verwenden, um die Extremstelle von F zu berechnen.

0 = f(x) → x = -2a

b)

0 = 1/2 * (-4) + a

0 = -2 + a

<-> 2=a

G = x^2 + 2

Answer 1

a) Es ist nicht \(f(x)=f'(x)\), achte auf die Schreibweisen.

Dein Vorgehen ist richtig. Du brauchst hier keine Stammfunktion zu kennen (zu Deinem Glück, Deine ist nämlich falsch - stets Probe durch Ableiten machen!).

b) Hier kannst Du gleich sagen, dass das Extremum in \(x=-4\) liegen muss (im Scheitelpunkt liegt das Extremum vor). Damit ist mit a) sofort \(a=2\).

Wenn Du nun eine(!, nicht die!!!) richtige Stammfunktion hättest, müsstest Du nur einsetzen und den y-Wert auf 0 anpassen (was durch das von Dir vergessene +C geschieht (aber das ist nicht der einzige Fehler in Deiner Stammfunktion)).

Comments

G = x^2 + 2x + C für b)?

---

Im Endergebnis kommt kein C vor ("bestimmen Sie die(!)...."). Mach Dir den Unterschied zwischen "eine" und "die" klar.

Und mach die Probe durch Ableiten.

---

Danke, auf den Hinweis der Formulierung.

Beim Ableiten spielt aber C keine Rolle, da es sich nur um eine Konstante handelt.

1/4x^2 +2x als Stammfunktion?

---

Das ist eine Stammfunktion, ja. Du brauchst aber \(G(-4)=0\).

---

G(-4) : 0 = 1/4*(-4)^2 + 2*(-4) + C
          4 = C

---> 1/4*(x)^2 + 2*(x) + 4

---

Passt! Jetzt stimmt's.

Answer 2

Bei a) muss es heißen \(f(x)=F'(x)\). Rechnung stimmt aber. Bei b) ist deine Stammfunktion auf einmal falsch. Beachte \(F(x)=\frac{1}{4}x^2+ax\)! Du hast da ein \(x\) vergessen. Außerdem hast du hier nicht berücksichtigt, dass der Punkt nicht irgendein Punkt ist, sondern der Scheitelpunkt sein soll. Arbeite hier mit der Scheitelpunktform (quadr. Ergänzung).

Answer 3

Sei feine lineare Funktion mit f(x) = 1/2x + a; aER und die quadratische Funktion F sein eine Stammfunktion von f.
von f.

a)  Begründen Sie, dass x = —2a die Extremstelle von F ist.

Damit F eine Extremstelle hat muss F' = f an dieser Stelle eine Nullstelle (mit VZW) haben.

f(x) = 1/2x + a = 0 → x = -2a (Nullstelle mit VZW von - nach +)

b)  Bestimmen Sie die Stammfunktion G von f, deren Scheitelpunkt (-4I0) ist.

Sx = -2a = -4 → a = 2

G(x) = 1/4·x^2 + 2·x + c

Jetzt die Integrationskonstante bestimmen.

G(-4) = 1/4·(-4)^2 + 2·(-4) + c = 0 → c = 4