Entscheiden ob Aussagen wahr sind

Question

Text erkannt:

Betrachten Sie die folgenden Aussageformen über ganze Zahlen:
\( A(n):=, n<5^{*} \text { und } B(n):=, n^{2}<20^{*} \)
(a) Bestimmen Sie den Wahrheitswert der Implikationen \( A(n) \Rightarrow B(n) \) für die folgenden Werte \( n \), indem Sie zunächst die Wahrheitswerte der jeweiligen Aussagen in die entsprechenden Spalten der folgenden Tabelle eintragen. Der Wahrheitswert der Implikation ist schließlich in der verbleibenden mittleren Spalte zu ergänzen.
\begin{tabular}{c|lll}
\( n \in \mathbb{Z} \) & \( A(n) \) & \( \Rightarrow \) & \( B(n) \) \\
\hline 10 & & & \\
7 & & & \\
5 & & & \\
4 & & & \\
3 & & & \\
2 & & & \\
1 & & & \\
0 & & & \\
-1 & & & \\
-2 & & & \\
-5 & & & \\
-10 & & &
\end{tabular}
(b) Formulieren Sie die folgende Aussage in Worten: \( \forall n \in \mathbb{Z}: A(n) \Rightarrow B(n) \)
(c) Entscheiden Sie (mit kurzer Begründung), ob die folgenden Aussagen wahr sind:
- \( \forall n \in \mathbb{Z}: A(n) \Rightarrow B(n) \)
- \( \exists n \in \mathbb{Z}: A(n) \Rightarrow B(n) \)
- \( \forall n \in \mathbb{N}: A(n) \Rightarrow B(n) \)
- \( \exists n \in \mathbb{N}: A(n) \Rightarrow B(n) \)

Problem/Ansatz:

Ich hab jetzt bereits Aufgabe a und b gemacht und bräuchte bei c dringend Hilfe.

Bin für alle Antworten dankbar!

Answer 1

\( \forall n \in \mathbb{Z}: A(n) \Rightarrow B(n) \)

Die Aussage bedeutet:

        Für jede ganze Zahl \(n\) gilt:
        wenn \(n\) kleiner als 5 ist,
        dann ist \(n^2\) kleiner als 20.

Damit diese Aussage wahr ist, muss überall in der mittleren Spalte der Wahrheitswert wahr stehen.

\( \exists n \in \mathbb{Z}: A(n) \Rightarrow B(n) \)

Die Aussage bedeutet:

        Es gibt eine ganze Zahl \(n\), für die gilt:
        wenn \(n\) kleiner als 5 ist,
        dann ist \(n^2\) kleiner als 20.

Damit diese Aussage wahr ist, genügt es, dass in der mittleren Spalte einer Zeile der Wahrheitswert wahr steht.

Comments

Soll das eine Antwort auf c) sein? Es ist doch nur eine Umformulierung.

Bei den "für alle"-Aussagen würde ich nach Gegenbeispielen suchen, bei den Existenzaussagen reich ein Beispiel.

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Damit diese Aussage wahr ist, muss überall in der mittleren Spalte der Wahrheitswert wahr stehen

Man muss diesen Satz als notwendige Bedingung erkennen, dessen Gültigkeit die Aussage nicht beweist.

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Es ist doch nur eine Umformulierung.

Das ist richtig. Hast du das erkannt weil du mit mathematischer Notation vertraut bist, oder daran, dass ich "Die Aussage bedeutet" geschrieben habe?

Bei den "für alle"-Aussagen würde ich nach Gegenbeispielen suchen

Der Autor der Aufgabe hat die Zahlen auf der linken Seite so geschickt gewählt, dass dort eines zu finden ist.

bei den Existenzaussagen reich ein Beispiel.

Der Autor der Aufgabe hat die Zahlen auf der linken Seite so geschickt gewählt, dass dort eines zu finden ist.