Ich hoffe ihr könnt mir bei einer Aufgabe helfen, welche wir heute in unserem Kurs lösen mussten.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
in einer Urne sind 3 Schwarze und 7 weiße Kugeln enthalten. Die Kugel werden nacheinander 8 Mal mit zurücklegen gezogen. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden (Ergänzung: Die zwei schwarzen Kugeln müssen direkt hintereinander gezogen werde).
Ich habe mir nun folgendes überlegt:
Da die gezogene Kugel nach jeder Ziehung wieder in die Urne zurückgelegt wird, liegt eine Binomialverteilung vor, da sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Ziehung nicht ändert. Des Weiteren wissen wir die Wahrscheinlichkeit mit der eine Schwarze Kugel gezogen wird. Dies können wir in die Formel
P(X=k)= (n über k) * 0,3^2 * 0,7^6
einsetzen. nun brauchen wir noch die Anzahl der Wege bzw. Möglichkeiten (n über k).
Die Anzahl der Möglichkeiten, generell genau 2 schwarze Kugeln zu ziehen, beträgt (10 über 2). Wir wollen aber wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass die 2 schwarzen Kugeln hintereinander gezogen werden. Deshalb gibt es folgende Möglichkeiten, die 2 Kugeln anzuordnen:
T(Treffer), N(Niete)
TTNNNNNN
NTTNNNNN
NNTTNNNN
NNNTTNNN
NNNNTTNN
NNNNNTTN
NNNNNNTT
Die Reihenfolge, mit der die schwarzen Kugeln untereinander gezogen werden, wird nicht berücksichtigt und zählt somit als ein Fall (d.h. ich kann die beiden schwarzen Kugeln in der Darstellung oben vertauschen, ohne dies als zwei verschiedene Fälle zu betrachten)
Somit habe ich nach dieser Darstellung 7 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Kugel bei 8 Ziehungen direkt hintereinander zu ziehen, beträgt also
7 * 0,3^2 * 0,7^6=0,074 7,4 %
Sind meine Überlegungen richtig?
Würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
