Grenzwert der Reihe ∑n=1 (k/3^k) berechnen

Question

Wie berechne ich den Grenzwert der unendlichen Reihe ∑_n=1 (k/3^k)? 

Danke

Answer 1

Es ist $$f(x)=\sum_{k=1}\infty x^k=\frac{1}{1-x} \text{ für } |x| \lneqq 1$$. Auf beiden Seiten ableiten ergibt: $$f'(x)=\sum_{k=0}\infty (k+1) x^k=\frac{1}{(1-x)^2} $$. Der Reihenwert ergibt sich dann als f'(1/3)-f(1/3). P.S. Ich gehe davon aus, dass die reihe $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{3^k}$$ gemeint ist. Ansonsten gilt der Einwand von 10001000Nick1

Comments

Es ist doch aber \(\sum\limits_{k=\color{red}{0}}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\) für |x|<1.

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Ich versteh es noch nicht ganz :/

f'(1/3)=1,5

f(1/3)=0,5 wenn man im Nachhinein -1 abzieht weil die Summe erst bei 1 beginnt.

Laut Taschenrechner konvergiert die Reihe aber gegen 3/4.

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@ 10001000Nick1: Da hast du vollkommen Recht, ist ein Tippfehler. Wenn ich jetzt nicht noch irgendein Brett vorm Kopf hab stimmt der rest aber (bzgl. des korrigierten Summationsanfangs) @gast: Beachte meinen Tippfehler

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da die Reihe konvergiert, kann man doch folgendes schreiben:

∑_n=1 (k/3^k) = ∑_n=1 (1/3^k) * ∑_n=1 k

ersteres ist eine geometrische Reihe mit Grenzwert 1/2 und beim 2. komm ich nicht weiter :(

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Du hast wieder n unter das Summenzeichen geschrieben statt k. Und nein, das geht nicht!!!

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ich meinte natürlich k=1

könntest du mir bitte den Rechengang abtippen, ich kann das nach wie vor nicht lösen.

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tatmas hat es doch schon geschrieben.

Answer 2

Wenn ich davon ausgehe, dass über dem Summenzeichen \(\infty\) stehen soll, dann konvergiert diese Reihe gegen 0 genau dann, wenn \(\frac{k}{3^k}=0\) ist, und sonst divergiert sie bestimmt.